[論文レビュー] The homotopy category of N-complexes is a homotopy category

James Gillespie|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、弱同値がチェーンホモトピー同値であるような、環 R 上の N-複体の圏におけるストロム型モデル構造を確立する。ホーヴェイのコトルシオン対フレームワークを用いて、N-複体のホモトピー圏が、ホモトピー類をとったチェーン写像の自明なホモトピー圏に同値であることを証明し、通常のチェーン複体（N=2）の古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

We show that the category of N-complexes has a Str\om model structure, meaning the weak equivalences are the chain homotopy equivalences. This generalizes the analogous result for the category of chain complexes (N = 2). The trivial objects in the model structure are the contractible N-complexes which we necessarily study and derive several results.

研究の動機と目的

• 通常のチェーン複体（N=2）における古典的ストロムモデル構造を、N≥2 における N-複体へ一般化すること。
• このモデル構造における自明な対象として、可縮 N-複体を特徴づけること。
• 2つのチェーン写像がホモトープであるための必要十分条件が、それらの差が可縮 N-複体を通じて因数分解できることであることを示すこと。
• N-複体のホモトピー圏が、ホモトピー類をとった写像としての射を持つ自明なホモトピー圏に同値であることを確立すること。
• モデル構造がフロベニウス的である、すなわちすべての N-複体が同時にコクリアとファイブレーション的であることを証明すること。

提案手法

• N-複体の圏におけるモデル構造を構成するために、ホーヴェイのコトルシオン対の手法を用いる。
• 可縮 N-複体のクラスを自明な対象として定義し、それが N-ディスクの直和として表され、正確な圏 N-Ch(R)_dw において射影的かつインジェクティブであることを示す。
• 2つの完全なコトルシオン対 (A, W) および (W, A) を確立する。ここで A はすべての N-複体のクラス、W は可縮 N-複体のクラスである。
• 文献 [Gil11] の定理 2.6 を適用して、正確な圏 N-Ch(R)_dw 上にフロベニウスモデル構造の存在を示す。
• フロベニウスモデル構造では、ホモトピー類がチェーンホモトピー類と一致し、2つの写像がホモトープであることと、それらの差が射影的・インジェクティブな対象を通じて因数分解できることとは同値であることを用いる。
• 各次元で分解可能な完全系列と、ループおよびススペンション複体の構成を活用して、十分な射影的およびインジェクティブ対象の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱同値がチェーンホモトピー同値であるようなストロム型モデル構造が、N-複体の圏に存在するか？
• RQ2 可縮 N-複体は、N-ディスクおよび射影的／インジェクティブ対象の観点から、どのように正確に特徴づけられるか？
• RQ3 N-チェーン写像間のチェーンホモトピーは、可縮 N-複体を通じた因数分解とどのように関係するか？
• RQ4 N-複体のホモトピー圏は、ホモトピー類をとった写像としての射を持つ自明なホモトピー圏に同値か？
• RQ5 N-複体上のモデル構造はフロベニウス的であるか、すなわちすべての対象が同時にコクリアかつファイブレーション的か？

主な発見

• N-複体の圏は、弱同値がチェーンホモトピー同値であるストロム型モデル構造を備える。
• 可縮 N-複体は、N-ディスクの直和として特徴づけられ、正確な圏 N-Ch(R)_dw において射影的かつインジェクティブである。
• 2つの N-複体間のチェーン写像がホモトープであるための必要十分条件は、それらの差が可縮 N-複体を通じて因数分解できることである。
• モデル構造はフロベニウス的である：すべての N-複体は同時にコクリアかつファイブレーション的であり、ホモトピー圏 HoCh(R)_dw は自明なホモトピー圏 N-K(R) に同値である。
• N-複体のホモトピー圏は、ホモトピー類をとったチェーン写像の自明なホモトピー圏に同値であり、N=2 の古典的結果を一般化する。
• モデル構造の存在は、可縮 N-複体のクラス W を用いたコトルシオン対 (A, W) および (W, A) の完全性に起因する。