[論文レビュー] Homoclinic standing waves in focussing DNLS equations --Variational approach via constrained optimization

Michael Herrmann|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Nonlinear Photonic Systems参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、1次元の焦点的離散非線形シュレーディンガー（DNLS）方程式におけるホモクリニック定常波（明るいソリトン）の存在を、制約付き最適化を用いた新しい変分的手法によって証明する。固定されたエネルギーの制約下でエネルギー汎関数を最大化することで、広範な非線形性のクラスに対して、単峰型および偶関数型のプロファイルを持つ2つの1パラメータ族の波の存在を保証し、解析的厳密性と構成的数値スキームの両方を提供する。

ABSTRACT

We study focussing discrete nonlinear Schrödinger equations and present a new variational existence proof for homoclinic standing waves (bright solitons). Our approach relies on the constrained maximization of an energy functional and provides the existence of two one-parameter families of waves with unimodal and even profile function for a wide class of nonlinearities. Finally, we illustrate our results by numerical simulations.

研究の動機と目的

• 継続法に依存しない、焦点的DNLS方程式におけるホモクリニック定常波の存在を示す新しい証明法の開発。
• 単峰型および偶関数型のプロファイル関数を持つ明るいソリトンの2つの1パラメータ族の存在の確立。
• 固定されたパワー制約下でのエネルギーの制約付き最大化に起因する、波の存在との関連を示す変分的フレームワークの提供。
• 変分原理に基づく、定常波の数値的近似スキームの構築。
• 周波数を事前に指定する方法にとどまらず、パワー制約付き最適化にまで拡張可能な変分法の適用範囲の拡大。

提案手法

• 時間に依存する位相変換を用いて線形位相項を除去することで、DNLS方程式をゲージ不変形に定式化する。
• エネルギー汎関数 $\mathcal{P}(u)$ とパワー汎関数 $\mathcal{N}(u)$ を定義し、$\mathcal{N}(u) = \sum_j u_j^2$ を制約とし、$\mathcal{P}(u)$ を最大化する対象とする。
• ラグランジュ乗数を用いて、制約付き最適化問題のオイラー＝ラグランジュ方程式として定常波方程式を導出する。
• $\ell^2$ におけるコンパクト性の議論と弱収束を用い、有限次元部分空間内の最大化列から極限解を抽出する。
• パワー制約を正確に保持する数値反復スキーム $u_{k+1} = I(u_k)$ を構築し、エネルギー汎関数の勾配フローを近似する。
• 調整可能な係数を有するパラメータ化された初期推定値を用い、$\mathcal{P}_N(u)$ の離散的最大化により最適な初期プロファイルを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 焦点的DNLS方程式におけるホモクリニック定常波は、アンチ連続極限における既知のアンカー解を必要としない変分的手法によって存在を証明可能か？
• RQ2 固定パワー制約下でのエネルギーの制約付き最大化が、広範な非線形性に対して単峰型および偶関数型プロファイル関数を持つ解をもたらすか？
• RQ3 変分法が、周波数を固定する方法とは異なる、構成的数値スキームを提供可能か？
• RQ4 非線形性 $\Psi$ にどのような条件を課せば、任意に小さいエネルギーのホモクリニック波の存在が保証されるか？
• RQ5 周期的有限ドメイン解は、ドメインサイズ $N \to \infty$ のとき、どのようにホモクリニック波に収束するか？

主な発見

• 固定パワー制約 $\mathcal{N}(u) = \varrho$ の下でのエネルギー汎関数 $\mathcal{P}(u)$ の制約付き最大化により、$N \to \infty$ の極限でホモクリニック定常波に収束する解が得られる。
• 本手法により、仮定(A3)を満たす広範な非線形性のクラスに対して、単峰型および偶関数型プロファイル関数を持つ2つの1パラメータ族のホモクリニック波の存在が保証される。
• 非線形性が $\Psi'(x) \to 1$ ($x \to \infty$) に収束する場合、例えば $\Psi(x) = x - \arctan x$ のように、安定な周期的オンサイトおよびアンサイト波が得られ、$N$ が増加するにつれて局在的ソリトンに収束する。
• 数値シミュレーションにより、$\Psi(x) = \exp(x) - \frac{1}{2}x^2 - x - 1$ の場合、局在的ホモクリニック波が $\varrho \geq 2.4$ のときのみ出現することが示され、小刻みな $x$ における立方項の振る舞いに基づく理論的存在条件と整合的である。
• $\alpha$ が小さく $\varrho$ が固定されているとき、周期的波は $\ell^2$ で非自明なホモクリニック波に強く収束するが、$\alpha$ が大きい場合には弱収束してゼロに近づくため、波の局在性の遷移が示唆される。
• 反復スキーム $u_{k+1} = I(u_k)$ はパワー制約を正確に保持し、オンサイトおよびアンサイト構成の両方の定常波を効果的に生成でき、変分的手法の数値的安定性が裏付けられる。