[論文レビュー] Homoclinic tangencies and singular hyperbolicity for three-dimensional vector fields

Sylvain Crovisier, Dawei Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、3次元コンpakト多様体上の任意の$C^1$ベクトル場が、特異的混合的超力学的ベクトル場または正則な双曲的周期軌道に関連するホモクライン接続を示すベクトル場によって$C^1$近似可能であることを証明する。この結果は、パリスの予想を裏付け、3次元$C^1$一般のベクトル場における二分岐を確立し、3次元における非双曲的力学系分類の中心的問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that any vector field on a three-dimensional compact manifold can be approximated in the C1-topology by one which is singular hyperbolic or by one which exhibits a homoclinic tangency associated to a regular hyperbolic periodic orbit. This answers a conjecture by Palis. During the proof we obtain several other results with independent interest: a compactification of the rescaled sectional Poincaré flow and a generalization of Mañé-Pujals-Sambarino theorem for three-dimensional C2 vector fields with singularities.

研究の動機と目的

• 3次元$C^1$ベクトル場における特異的混合的超力学的性質とホモクライン接続の間の一般的二分岐に関するパリスの予想を解決すること。
• コンパクト3次元多様体上の$C^1$一般のベクトル場における位相的および力学的二分岐を確立すること。
• 3次元において、歪み分解を持つ特異的流れに一般化されたマニェ＝プハルス＝サムバリーノの定理を適用すること。
• 特異点付近の力学を解析するための、スケーリングされた断面パンカルエフローのコンパクト化を開発すること。
• 歪み分解および特異的混合的超力学的性質の下でのチェーン再帰的集合の構造を特定すること。

提案手法

• 特異点付近の力学を解析し、局所的なファイバード流れをグローバル構造へ拡張するために、スケーリングされた断面パンカルエフローのコンパクト化を導入する。
• 歪み分解を用いたファイバード動力学的手法を適用し、不変集合上での接空間および線形パンカルエフローの挙動を制御する。
• 位相的安定性および$δ$区間構成を用いて、非最小なチェーン再帰的クラスに通常拡張された無理数トーラスの存在を証明する。
• $C^2$特異的ベクトル場に一般化されたマニェ＝プハルス＝サムバリーノの定理を適用し、一様な収縮性および歪み性の性質を確立する。
• 歪み分解の$C^1$摂動における安定性およびチェーン再帰的クラスの半連続性を用いて、摂動されたベクトル場から元のベクトル場へ結果を拡張する。
• $C^1$一般性の議論と残渣集合を組み合わせ、ホモクライン接続を伴う系によって近似されない任意のベクトル場は特異的混合的超力学的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元コンパクト多様体上の任意の$C^1$ベクトル場は、特異的混合的超力学的ベクトル場または正則な双曲的周期軌道に関連するホモクライン接続を示すベクトル場によって近似可能か？
• RQ2 特異点を伴う状況下で、歪み分解を有するチェーン再帰的集合の動的性質はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 線形パンカルエフローを特異点付近でどのようにコンパクト化し、解析すればよいか？ これにより、特異的流れへの双曲型結果の拡張が可能になるか？
• RQ4 マニェ＝プハルス＝サムバリーノの定理は、特異点を伴う3次元流れにどの程度一般化可能か？
• RQ5 3次元多様体上の$C^1$ベクトル場の一般的二分岐は、特異的混合的超力学的性質とホモクライン接続の観点からどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 3次元コンパクト多様体上の任意の$C^1$ベクトル場は、$C^1$位相で、特異的混合的超力学的ベクトル場または正則な双曲的周期軌道に関連するホモクライン接続を示すベクトル場によって近似可能である。
• チェーン再帰的集合の正則部分における線形パンカルエフローに歪み分解が存在するための必要十分条件は、その集合が双曲的または特異的混合的超力学的であることである。
• $C^1$一般のベクトル場において、双曲的周期軌道や孤立した特異点でないチェーン再帰的クラスは、ホモクライン接続を伴う系によって近似されない限り、特異的混合的超力学的である。
• チェーン再帰的集合上での線形パンカルエフローに歪み分解が存在する場合、その集合が安定次元2の特異点を含むならば、その集合は特異的混合的超力学的である。
• チェーン再帰的クラスが一貫してトランスティーブである$C^1$ベクトル場の集合は、3次元多様体上の$C^1$ベクトル場空間において、開かつ稠密である。
• 特異的混合的超力学的性質は$C^1$位相において開性を有し、ホモクライン接続を伴う系によって近似されない任意のベクトル場は特異的混合的超力学的である。