[論文レビュー] Homogeneity of the pure state space for the separable nuclear C*-algebras

Akitaka Kishimoto, Shôichirô Sakai|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の分離可能な核的 C*-代数の純粋状態空間が、漸近的内自己同型のなす群の作用に関して均一的であることを確立する。核的理論およびカジソンの遂行性の技術を用いて、同型な GNS 表現をもつ純粋状態は、ユニタリ共役による連続的経路で接続可能であることを証明し、既知の結果をすべての分離可能な核的 C*-代数へと拡張し、同一の核を持つ有限個の純粋状態に対して強い遂行性を示す。

ABSTRACT

We prove that the pure state space is homogeneous under the action of the group of asymptotically inner automorphisms for all the separable simple nuclear C*-algebras. If simplicity is not assumed for the C*-algebras, the set of pure states whose GNS representations are faithful is homogeneous for the above action.

研究の動機と目的

• すべての分離可能な核的 C*-代数について、漸近的内自己同型のなす群の作用下での純粋状態空間の均一性を確立すること。
• 以前は特定のクラスの C*-代数に限って成り立っていた既知の遂行性結果を、分離可能な核的 C*-代数の全クラスへと拡張すること。
• 漸近的内自己同型のなす群が、同一の核を持つ純粋状態の有限族に対して強く遂行的であることを証明すること。
• 有限個の純粋状態のユニタリ共役に関する新たな核的特徴づけを、アメニタリティと結びつけて提示すること。
• 補題 3.1 を一般化し、同一の核を持つ互いに素な純粋状態の有限列に対する遂行性を強化すること。

提案手法

• チョイとエフロスによって確立された、核的 C*-代数を、有限次元 C*-代数を通る完全正規化写像のネットに因数分解する特徴づけを利用する。
• 核的 C*-代数が有限次元商空間におけるユニタリ近似を有し、誤差が制御可能であることを示す技術的補題（補題 3.1）を適用する。
• 極分解とユニタリ摂動技術を用いて、状態共役を近似する自己同型を実装するユニタリの経路を構成する。
• カジソンの遂行性定理を用いて、ある純粋状態を別の状態の GNS 表現におけるベクトル状態として模倣し、ユニタリ共役による状態の近似を可能にする。
• 有限次元 C*-代数のユニタリ群における有限 ε-網を構成し、ユニタリ作用の下での対応関係を全単射による議論で確立する。
• 核心的な技術的補題を、互いに素な無限大表現の有限族に対応するように一般化し、複数の純粋状態に対する強い遂行性を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定のクラスの C*-代数に限って成り立つ、漸近的内自己同型の作用下での純粋状態空間の均一性が、すべての分離可能な核的 C*-代数へと拡張可能か？
• RQ2 同一の核を持つ純粋状態の有限族に対して、漸近的内自己同型のなす群の作用が、純粋状態空間上で強く遂行的か？
• RQ3 有限次元商空間におけるユニタリ近似に基づく証明の核心的技術が、同時に複数の無限大表現を扱えるように一般化可能か？
• RQ4 このような遂行的作用の存在が、アメニタリティとユニタリ共役を用いた核的性の新たな特徴づけを提供するか？
• RQ5 有限ランク射影が表現の中心化部分代数に属するという条件を緩和しても、近似結果が失われないか？

主な発見

• 任意の分離可能な単純核的 C*-代数の純粋状態空間は、漸近的内自己同型のなす群の作用に関して均一的である。
• 一般の分離可能な核的 C*-代数について、その GNS 表現が忠実である純粋状態の集合は、同様の作用に関して均一的である。
• 漸近的内自己同型のなす群は、同一の核を持つ純粋状態の有限族に対して強く遂行的である。
• 技術的補題（補題 3.1）は、核的 C*-代数が有限次元商空間において誤差が有限集合と許容誤差に依存するユニタリ近似を有することを確立する。
• 証明は、任意の有限集合上で与えられた ε 以内に状態共役を近似する自己同型を実装するユニタリの連続的経路を構成する。
• 主結果は、同一の核を持つ任意の有限個の純粋状態の列について、一方の列を他方へ写す漸近的内自己同型が存在することを一般化して示す。