[論文レビュー] Homogeneity of the spectrum for quasi-periodic Schrödinger operators

Michael Goldstein, David Damanik+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、正のリャプノフ指数を満たす実解析的ポテンシャルを有する1次元準周期的シュレーディンガー作用素について、ディオファントス周波数の下でスペクトルの均質性を確立する。移行行列技術、安定性解析、スペクトルギャップ推定を用いて、スペクトルが局所的に一様に厚い（カーレソン均質的）ことを証明し、スペクトル成分間のギャップが指数的に小さくなることを示す。これは、有限区間および |λ| ≠ 1 であるほぼマシュー作用素へと拡張される。

ABSTRACT

We consider the one-dimensional discrete Schrödinger operator $$ \bigl[H(x,ω)φ\bigr](n)\equiv -φ(n-1)-φ(n+1) + V(x + nω)φ(n)\ , $$ $n \in \mathbb{Z}$, $x,ω\in [0, 1]$ with real-analytic potential $V(x)$. Assume $L(E,ω)>0$ for all $E$. Let $\mathcal{S}_ω$ be the spectrum of $H(x,ω)$. For all $ω$ obeying the Diophantine condition $ω\in \mathbb{T}_{c,a}$, we show the following: if $\mathcal{S}_ω\cap (E',E") eq \emptyset$, then $\mathcal{S}_ω\cap (E',E")$ is homogeneous in the sense of Carleson (see [Car83]). Furthermore, we prove, that if $G_i$, $i=1,2$ are two gaps with $1 > |G_1| \ge |G_2|$, then $|G_2|\lesssim \exp\left(-(\log \mathrm{dist} (G_1,G_2))^A ight)$, $A\gg 1$. Moreover, the same estimates hold for the gaps in the spectrum on a finite interval, that is, for $\mathcal S_{N,ω}:=\cup_{x\in\mathbb T}\mathrm{spec} H_{[-N,N]}(x,ω) $, $N \ge 1 $, where $H_{[-N, N]}(x, ω)$ is the Schrödinger operator restricted to the interval $[-N,N]$ with Dirichlet boundary conditions. In particular, all these results hold for the almost Mathieu operator with $|λ| eq 1$. For the supercritical almost Mathieu operator, we combine the methods of [GolSch08] with Jitomirskaya's approach from [Jit99] to establish most of the results from [GolSch08] with $ω$ obeying a strong Diophantine condition.

研究の動機と目的

• 正のリャプノフ指数条件の下で準周期的シュレーディンガー作用素のスペクトルの均質性を確立すること。
• ディオファントス周波数の下で、スペクトルギャップの構造、特にそのサイズと分離度を分析すること。
• スペクトル均質性およびギャップの減衰に関する結果を、有限区間および |λ| ≠ 1 であるほぼマシュー作用素へと拡張すること。
• [GS08] と [Jit99] の手法を組み合わせ、超臨界ほぼマシュー作用素におけるスペクトル正則性結果を強化すること。
• 有限スケールにおけるスペクトルセグメントの安定化と固有値の分離を、制御された測度推定を用いて証明すること。

提案手法

• 有限区間におけるスペクトル揺らぎと固有値分離の制御のため、移行行列とウェグナー推定を用いる。
• 摂動に対するスペクトルの安定性解析を適用し、ω におけるディオファントス条件に依存して一様な制御を保証する。
• 二重共鳴解析を用いて、近似的に退化した固有値の交差を扱い、ギャップ分離推定を導出する。
• 有限区間における局在化された固有関数を用いて、スペクトル特性とリャプノフ指数の挙動、および移行行列の減衰を結びつける。
• 安定化技術を適用し、有限スケールにおけるスペクトルセグメントが無限体スケールスペクトルに指数的に小さい誤差集合を伴って収束することを示す。
• [GS08] の手法とジトミルスカヤの手法を組み合わせ、強いディオファントス条件の下で超臨界ほぼマシュー系においてスペクトル均質性を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実解析的ポテンシャルと正のリャプノフ指数を有する準周期的シュレーディンガー作用素のスペクトルが、ディオファントス周波数において局所的に一様に厚い（均質的）か？
• RQ2 このような作用素において、スペクトルギャップのサイズは、その分離度の関数としてどのように減少するか？
• RQ3 ディリクレ境界条件を有する有限区間において、スペクトル均質性およびギャップの減衰推定を拡張できるか？
• RQ4 |λ| ≠ 1 であるほぼマシュー作用素において、ディオファントス周波数条件の下で、結果はどの程度有効か？
• RQ5 [GS08] と [Jit99] の手法を組み合わせることで、超臨界領域におけるスペクトル均質性を確立できるか？

主な発見

• ディオファントス周波数 ω ∈ ℤ_{c,a} に対して、リャプノフ指数 L(ω,E) ≥ γ > 0 がすべての E に対してある集合で成り立つとき、スペクトル ℚ_ω は τ-均質的（τ = τ(V,c,a,γ)）である。
• スペクトルが区間 (E',E'') と交差し、(E',E'') 上で L(ω,E) ≥ γ > 0 が成り立つ場合、スペクトルが ε で局所的に分離されている限り、ℚ_ω ∩ (E',E'') は τ-均質的（τ = τ(V,c,a,γ,ε)）である。
• |G_1| ≥ |G_2| を満たすスペクトルギャップ G_1, G_2 に対して、|G_2| ≤ ≈ exp( - (log dist(G_1,G_2))^{A} ) が成り立つ（A ≫b 1）。
• 同じギャップ減衰および均質性の結果が、ディリクレ境界条件を有する有限スケールスペクトル ℚ_{N,ω} = ∪_x spec H_{[-N,N]}(x,ω) に対しても成り立つ。
• |λ| ≠ 1 であるほぼマシュー作用素では、正のリャプノフ指数およびディオファントス周波数条件の下で、すべての結果が成り立つ。
• 超臨界領域では、強いディオファントス条件の下で [GS08] と [Jit99] の手法を組み合わせることで、ほぼマシュー作用素に対しても結果が拡張される。