[論文レビュー] Homogeneous actions on Urysohn spaces

Pierre Fima, François Le Maı̂tre+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無限可算群の自由積や曲面群などの多くの可算群が、有界Urysohn空間の等距変換群の稠密部分群に同型であることを確立する。Katětov拡張と等変結合技術を用いて、このような作用が均一的であることを証明し、以前の高次の推移的群やランダムグラフに関する結果を、より広範なUrysohn距離空間の文脈へと拡張する。

ABSTRACT

We show that many countable groups acting on trees, including free products of infinite countable groups and surface groups, are isomorphic to dense subgroups of isometry groups of bounded Urysohn spaces. This extends previous results of the first and last author with Y. Stalder on dense subgroups of the automorphism group of the random graph. In the unbounded case, we also show that every free product of infinite countable groups arises as a dense subgroup of the isometry group of the rational Urysohn space.

研究の動機と目的

• Urysohn空間上で均一的な等距作用をもつ可算群を特徴づけること。
• 以前の高次の推移的群やランダムグラフに関する結果を、有界および無限大のUrysohn空間の文脈へ拡張すること。
• 無限可算群の自由積および曲面群が、有界Urysohn空間の等距変換群の稠密部分群として生じることを確立すること。
• Urysohn空間上の均一的作用における点安定化部分群およびSchlichting完備化の構造を分析すること。
• 有限に支持された置換のなす群が、有理数Urysohn空間の等距変換群に稠密に埋め込まれ、その完備化において非可算な共役類をもつことの証明。

提案手法

• S-Urysohn空間における部分等距変換の等距拡張を構成するために、Katětov拡張技術を用いる。
• 有限部分等距変換をグローバルな群作用へ拡張するために等変結合を適用し、均一性を保証する。
• Baireのカテゴリー定理を用いて、一般の拡張が等距変換群における稠密部分群を与えることを示す。
• Schlichting完備化を用いて、均一的作用における点安定化部分群を等距変換群の位相的性質に関連付ける。
• 無限大の場合に強力な分離性および自由積構成を用い、自由積の稠密埋め込みを実現する。
• 距離集合Sの濃度を用いて、等距変換群における共役類の性質を分析し、非自明な可算正規部分群が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの可算群が、稠密な等距作用をもつUrysohn空間上で均一的に作用できるか？
• RQ2 無限可算群の自由積が、有界Urysohn空間の等距変換群に稠密に埋め込まれる条件は何か？
• RQ3 Urysohn空間上で均一的に作用する群のSchlichting完備化の構造はいかなるものか？
• RQ4 有限に支持された置換のなす群は、有理数Urysohn空間の等距変換群の稠密部分群として実現可能か？
• RQ5 距離集合Sの濃度が3以上であるとき、Urysohn空間の等距変換群にどのような位相的制約（例えば、共役類の大きさ）が生じるか？

主な発見

• 距離集合Sが可算であり0を含むとき、無限可算群の自由積は、有界Urysohn空間の等距変換群に稠密に埋め込まれる。
• 曲面群および無限可算群の自由積は、いずれも有界Urysohn空間の等距変換群の稠密部分群に同型である。
• 有限に支持された置換のなす群は、有理数Urysohn空間の等距変換群に稠密に埋め込まれ、そのSchlichting完備化はこの群の全等距変換群における閉包である。
• |S| ≥ 3のとき、S-Urysohn空間の等距変換群は非可算な共役類をもち、非自明な可算正規部分群が存在しないことを示唆する。
• 自然な有限に支持された置換群のℕへの作用は、共轭を除いて唯一の2重推移的作用であり、高次の忠実性をもたない。
• 任意の無限大の指数をもつ最大部分群に関して、有限に支持された置換群のSchlichting完備化は、Urysohn空間の等距変換群におけるこの群の閉包である。