[論文レビュー] Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles II: GNS Representations, the WKB Expansion, and Applications

Martin Bordemann, Nikolai Neumaier+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 1997

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、固定密度に対する統合を用いた形式的GNS構成を用いて、余接 bundle における同次フェドスフ星積に対してGNS表現を構成し、Weyl順序のシュレーディンガー型表現を導出する。これにより、星積の強い閉包性（星交換子のシンプレクティック体積積分が消えること）を確立し、GNSを用いたWKB展開を定式化し、時間反転写像の固定点集合がラグランジュ部分多様体であることを証明する。

ABSTRACT

This paper is part II of a series of papers on the deformation quantization on the cotangent bundle of an arbitrary manifold $Q$. For certain homogeneous star products of Weyl ordered type (which we have obtained from a Fedosov type procedure in part I, see q-alg/9707030) we construct differential operator representations via the formal GNS construction (see q-alg/9607019). The positive linear functional is integration over $Q$ with respect to some fixed density and is shown to yield a reasonable version of the Schrödinger representation where a Weyl ordering prescription is incorporated. Furthermore we discuss simple examples like free particle Hamiltonians (defined by a Riemannian metric on $Q$) and the implementation of certain diffeomorphisms of $Q$ to unitary transformations in the GNS (pre-)Hilbert space and of time reversal maps (involutive anti-symplectic diffeomorphisms of $T^*Q$) to anti-unitary transformations. We show that the fixed-point set of any involutive time reversal map is either empty or a Lagrangean submanifold. Moreover, we compare our approach to concepts using integral formulas of generalized Moyal-Weyl type. Furthermore we show that the usual WKB expansion with respect to a projectable Lagrangean submanifold can be formulated by a GNS construction. Finally we prove that any homogeneous star product on any cotangent bundle is strongly closed, i. e. the integral over $T^*Q$ w.r.t. the symplectic volume vanishes on star-commutators. An alternative Fedosov type deduction of the star product of standard ordered type using a deformation of the algebra of symmetric contravariant tensor fields is given.

研究の動機と目的

• 同次フェドスフ星積の微分作用素表現を、形式的GNS構成を用いて余接 bundle で構成すること。
• 基底多様体上での固定密度に対する統合を通じて、Weyl順序のシュレーディンガー表現を実現すること。
• 微分同相写像および時間反転写像がGNSヒルベルト空間内でユニタリおよび反ユニタリ作用素として実装される様子を分析すること。
• 射影可能なラグランジュ部分多様体に関するWKB展開が、GNS構成から体系的に導出可能であることを示すこと。
• すべての同次星積が強い閉包性を有すること、すなわち任意の星交換子のシンプレクティック体積積分が消えることを証明すること。

提案手法

• Q 上の統合を正の線形汎関数として用い、T*Q 上のWeyl順序型の同次フェドスフ星積に形式的GNS構成を適用する。
• Part I (q-alg/9707030) のフェドスフ手続きを用い、星積の同次性およびWeyl順序性を保証する。
• 正の汎関数を用いて内積を定義するGNS内積により、GNS前ヒルベルト空間を構成する。
• Q の微分同相写像をGNS空間内でのユニタリ作用素として、時間反転写像（自己反対的シンプレクティック微分同相写像）を反ユニタリ作用素として実装する。
• ラグランジュ部分多様体をGNS表現における循環ベクトルに関連付けることで、GNSフレームワークを用いてWKB展開を定式化する。
• 対称反変テンソル場の代数の変形を用いて、標準順序星積の代替的フェドスフ型導出を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的GNS構成は、余接 bundle における同次フェドスフ星積に対して一貫した微分作用素表現をもたらすか？
• RQ2 基底多様体Qの微分同相写像は、GNSヒルベルト空間内でどのようにユニタリ作用素として作用するか？
• RQ3 T*Q 上の自己反対的時間反転写像の固定点集合の幾何的性質は何か？
• RQ4 射影可能なラグランジュ部分多様体に関するWKB展開は、GNS構成から体系的に導出可能か？
• RQ5 余接 bundle 上のすべての同次星積は強い閉包性を有するか、すなわち任意の星交換子のシンプレクティック体積積分が消えるか？

主な発見

• Q 上の統合を正の線形汎関数として用いた形式的GNS構成は、Weyl順序のシュレーディンガー表現を実現するwell-definedなGNS前ヒルベルト空間をもたらす。
• 時間反転写像は、自己反対的シンプレクティック微分同相写像としてT*Q 上に作用し、GNS表現内で反ユニタリ作用素を誘導する。
• 任意の時間反転写像の固定点集合は、空集合またはT*Q のラグランジュ部分多様体である。
• 射影可能なラグランジュ部分多様体に関するWKB展開は、その部分多様体に関連する循環ベクトルを用いたGNS構成と同等である。
• すべての余接 bundle 上の同次星積は強い閉包性を有する：任意の星交換子のシンプレクティック体積積分は消える。
• 対称反変テンソル場の代数の変形を用いて、標準順序星積の代替的フェドスフ型構成が達成される。