[論文レビュー] Homogeneous locally conformally Kähler manifolds

Andrei Moroianu, Liviu Ornea|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自己同型群の中心が2次元であるコンパクトな同調的局所的にコンformally Kähler (LCK)多様体が、必然的にVaismanであることを証明している。つまり、Lee形式が平行である。証明は、正則キリングベクトル場、リーマン的準同型写像、およびコンパクトな同調的Kähler多様体の分類を用い、Lee形式の共変微分の消滅がVaisman条件を意味することを示しており、すべてのコンパクトな同調的LCK多様体がVaismanであるという予想を支持する。

ABSTRACT

It is known that automorphism group $G$ of a compact homogeneous locally conformally Kähler manifold $M=G/H$ has at least a 1-dimensional center. We prove that the center of $G$ is at most 2-dimensional, and that if its dimension is 2, then $M$ is Vaisman and isometric to a mapping torus of an isometry of a homogeneous Sasakian manifold.

研究の動機と目的

• コンパクトな同調的局所的にコンformally Kähler (LCK)多様体の自己同型群の中心の次元が2以上である場合の構造を特定すること。
• このような多様体がVaismanである、すなわちLee形式がLevi-Civita接続に関して平行であるというより強い条件を満たす必要があるかどうかを調査すること。
• 同調的Sasakian多様体をファイバーとする円周上のマッピングトーラスとしての幾何的特徴づけを提示すること。
• 2次元中心の仮定の下でこの結果を証明することで、すべてのコンパクトな同調的LCK多様体がVaismanであるという予想に証拠を提供すること。

提案手法

• 自己同型群 $G$ がコンパクトな同調的LCK多様体 $M = G/H$ に作用する様子を分析し、特に $G$ の中心に注目する。
• コンパクト性と同調的性を用いて、Lee形式 $\theta$ に対して消える正則キリングベクトル場 $\xi$ を特定する。
• 軌道 $\xi$-軌道を用いて、$M \to N$ なるリーマン的準同型写像を構成し、$N$ はコンパクトなKähler多様体である。
• Lee形式を $N$ に投影し、その核が同調的Kähler部分多様体 $P$ を定めることを示し、$P$ 上の正則ベクトル場の不変性を用いて平行性を導出する。
• 補題3.9を適用し、コンパクトな同調的Kähler多様体 $P$ 上の $K$-不変な正則ベクトル場が平行であることを示し、これを $M$ に引き戻す。
• 対称性および可積分性の条件を用いて $\nabla\theta = 0$ を示し、$M$ がVaismanであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな同調的LCK多様体の自己同型群の中心が2次元である場合、その多様体は必然的にVaismanであるか？
• RQ2 正則キリングベクトル場と幾何的還元を用いて、その多様体上のLee形式が平行であることを示せるか？
• RQ3 Sasakian幾何学の観点から、2次元中心をもつコンパクトな同調的LCK多様体に構造的特徴づけは可能か？
• RQ4 2次元中心の仮定が、同調的Sasakian多様体へのマッピングトーラスであることを強制するか？
• RQ5 この結果は、すべてのコンパクトな同調的LCK多様体がVaismanであるという広範な予想を支持するか？

主な発見

• コンパクトな同調的LCK多様体の自己同型群の中心は、最大で2次元である。
• 中心がちょうど2次元である場合、多様体は必然的にVaismanである。すなわち、Lee形式 $\theta$ はLevi-Civita接続に関して平行である。
• 多様体は、同調的Sasakian多様体の等長写像のマッピングトーラスとして等長的である。
• 対称性および正則性を用いて、$\theta^\sharp$ の共変微分の消滅を示し、$\nabla\theta = 0$ を証明することで、Lee形式 $\theta$ が平行であることを示した。
• この結果は、最近の全正則LCK多様体に関する結果を踏まえて、すべてのコンパクトな同調的LCK多様体がVaismanであるという予想を支持する。