[論文レビュー] Homogenization and asymptotics for small transaction costs: the multidimensional case

Dylan Possamaï, H. Meté Soner+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、粘性解と均質化技術を用いて、小さな比例取引コストを伴う多次元無限ホライズン最適消費投資問題の漸近展開を確立する。特徴的な特徴として、特異的エルゴード制御問題に対する補正解の存在を証明し、1次補正項を導出する。この補正項は、高次元では明示的解を伴わない系の補正方程式によって特徴づけられる。

ABSTRACT

In the context of the multi-dimensional infinite horizon optimal consumption-investment problem with proportional transaction costs, we provide the first order expansion in small transact costs. Similar to the one-dimensional derivation in our accompanying paper [42], the asymptotic expansion is expressed in terms of a singular ergodic control problem, and our arguments are based on the theory of viscosity solutions, and the techniques of homogenization which leads to a system of corrector equations. In contrast with the one-dimensional case, no explicit solution of the first corrector equation is available anymore. Finally, we provide some numerical results which illustrate the structure of the first order optimal controls.

研究の動機と目的

• 1次元における小さな取引コストの漸近解析を多次元設定に拡張すること。
• 小さな取引コスト下での価値関数展開における1次補正項を特徴づけること。
• 高次元における特異的エルゴード制御問題に対する補正解の存在と正則性を確立すること。
• 初期の周期的振動からではなく、極限問題から生じる速い変数を含む均質化フレームワークを構築すること。
• 多次元ケースにおける最適取引戦略の構造を数値的根拠で提示すること。

提案手法

• エヴァンズの粘性解に基づく均質化手法に、バールスとペルトアムの緩和極限を組み合わせる。
• 初期の周期的項を事前に定義する代わりに、極限問題の最適戦略に依存する速い変数を導入する変数変換を用いる。
• 特異的エルゴード制御問題に関連する補正方程式の系を導出し、単調フォロワー問題に類似した形をとる。
• ハインド（2013, 2014）の最近の結果を用いて、固有値問題の解の存在および$C^{1,1}$正則性を確立する。
• 比較原理およびインフィコンボリューション技法を用いて自由境界および2次正則性を分析する。
• 一様$C^{1,1}$推定およびコンパクトネスの議論を用いて極限に移行し、漸近的状態における補正を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、小さな取引コストを伴う多次元最適消費投資問題の漸近展開を厳密に導出できるか？
• RQ2 複数のリスク資産と比例取引コストが存在する状況下で、1次補正項の構造はどのようなものか？
• RQ3 多次元設定で生じる特異的エルゴード制御問題に対して、補正解を構築できるか？
• RQ4 速い変数が事前に指定されていない場合、極限問題の構造から生じる場合、均質化フレームワークはどのように適応するか？
• RQ5 漸近的状態における価値関数およびその2次微分係数の正則性特性は何か？

主な発見

• 漸近展開における1次補正項は、均質化プロセスから生じる特異的エルゴード制御問題によって特徴づけられる。
• 補正方程式に対して$C^{1,1}$の一意解が存在し、明示的解が高次元で得られない場合でも、正確な成長条件を満たす。
• 補正関数の2次微分はほとんど everywhere で有界であり、有効領域の補集合ではほとんど everywhere で消える。
• 価値関数の2次正則性は、小さなコストの極限において一様に保たれ、$C^1_{\text{loc}}$収束が可能である。
• 数値結果により、1次最適制御がピecewise線形構造を示すことが示され、理論的枠組みと整合的である。
• 均質化フレームワークは、周期的でも振動的でもない、極限問題の構造から生じる速い変数を効果的に扱うことができる。