[論文レビュー] Homogenization, linearization and large-scale regularity for nonlinear elliptic equations

Scott N. Armstrong, Sam Ferguson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、確率的で高周波数の係数をもつ非線形楕円型方程式において、均質化と線形化が可換であることを確立し、最適な確率的可積分性を備えた解の差に対する定量的大型スケール $C^{0,1}$ 正則性推定を証明する。主な貢献は、解に関する新しい大型スケール $C^{1,1}$ 推定と、均質化ラグランジアンの正則性が $C^{2,1}$ まで向上することであり、線形の場合を越えた定量的均質化理論を拡張する。

ABSTRACT

We consider nonlinear, uniformly elliptic equations with random, highly oscillating coefficients satisfying a finite range of dependence. We prove that homogenization and linearization commute in the sense that the linearized equation (linearized around an arbitrary solution) homogenizes to the linearization of the homogenized equation (linearized around the corresponding solution of the homogenized equation). We also obtain a quantitative estimate on the rate of this homogenization. These results lead to a better understanding of differences of solutions to the nonlinear equation, which is of fundamental importance in quantitative homogenization. In particular, we obtain a large-scale $C^{0,1}$ estimate for differences of solutions---with optimal stochastic integrability. Using this estimate, we prove a large-scale $C^{1,1}$ estimate for solutions, also with optimal stochastic integrability. Each of these regularity estimates are new even in the periodic setting. As a second consequence of the large-scale regularity for differences, we improve the smoothness of the homogenized Lagrangian by showing that it has the same regularity as the heterogeneous Lagrangian, up to $C^{2,1}$.

研究の動機と目的

• 非線形楕円型方程式の発散型形式における確率的均質化の定量的理論を構築すること。
• 線形化方程式を満たす解の差の大型スケール挙動を理解すること。
• 解および差に対する最適な大型スケール正則性推定（$C^{0,1}$ および $C^{1,1}$ 界）を確立すること、最適な確率的可積分性を含む。
• 均質化ラグランジアンが非一様ラグランジアンの正則性を $C^{2,1}$ まで継承することを証明すること。
• 均質化と線形化が可換であることを示すこと、すなわち、非線形方程式の解のまわりでの線形化方程式が、均質化された方程式の線形化に収束すること。

提案手法

• 有限範囲の依存性をもつ、確率的で $\mathbb{Z}^d$-定常な係数をもつ、一様楕円型非線形方程式を発散型形式で分析する。
• 方程式の変分的構造を用いて、劣加法的量を定義し、劣加法的エルゴード定理を適用して均質化を証明する。
• 線形化方程式の定量的解析を通じて、解の差に対する大型スケール $C^{0,1}$ 正則性推定を確立する。
• 摂動的議論を用いて、非線形方程式の解のまわりでの線形化方程式が、均質化された方程式の線形化に収束することを示す。
• Campanato型反復とエネルギー推定を用いて、大スケールでの勾配の Hölder 正則性を導出する。
• 確率的モーメント評価と、均質化プロセスにおける誤差に関する大偏差型推定を組み合わせることで、定量的均質化推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的係数をもつ非線形楕円型方程式において、均質化と線形化は可換か？
• RQ2 確率的設定下で、非線形楕円型方程式の解の差の最適な大型スケール正則性は何か？
• RQ3 非線形で確率的設定下で、解に対して最適な確率的可積分性を備えた $C^{1,1}$ 正則性推定を得られるか？
• RQ4 均質化ラグランジアンの正則性は、非一様ラグランジアンの正則性とどのように関係するか？
• RQ5 非線形方程式の解のまわりでの線形化方程式の均質化の収束速度は何か？

主な発見

• 均質化と線形化は可換である：解のまわりでの線形化方程式は、均質化された方程式の線形化に収束する。
• 最適な確率的可積分性を備えた解の差に対する大型スケール $C^{0,1}$ 正則性推定が確立され、従来の結果を改善する。
• 解に対して、最適な確率的可積分性を備えた大型スケール $C^{1,1}$ 正則性推定が得られ、これは周期的ケースですら新規である。
• 均質化ラグランジアンは、非一様ラグランジアンの $C^{2,1}$ 正則性を継承する。これは、従来の結果に比べて顕著な向上である。
• 線形化方程式に対して、長さスケール比と確率的係数のモーメントバウンドに依存する収束速度を備えた定量的均質化推定が導出された。
• 本結果は、Campanato型反復と確率的モーメント推定に基づく、線形化方程式のための新しい大型スケール正則性理論によって確立された。