[論文レビュー] Homogenization of a class of one-dimensional nonconvex viscous Hamilton-Jacobi equations with random potential

Elena Kosygina, Atilla Yilmaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 49被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、確率的ポテンシャルによって駆動される非凸ハミルトニアンを有する1次元の粘性ハミルトン・ジャコビ方程式について、均質化を確立する。ブラウン運動の確率的ポテンシャルにおける指数モーメントの制御理論的解釈を通じて、有効ハミルトニアンはこれらのモーメントの漸近的成長率として特定され、基礎となる拡散過程の傾きを用いた自由エネルギーと明示的に関連づけられる。主な結果は、線形初期データを有する解の概収束による均質化であり、非凸かつ確率的設定における1次元における均質化理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

We prove the homogenization of a class of one-dimensional viscous Hamilton-Jacobi equations with random Hamiltonians that are nonconvex in the gradient variable. Due to the special form of the Hamiltonians, the solutions of these PDEs with linear initial conditions have representations involving exponential expectations of controlled Brownian motion in a random potential. The effective Hamiltonian is the asymptotic rate of growth of these exponential expectations as time goes to infinity and is explicit in terms of the tilted free energy of (uncontrolled) Brownian motion in a random potential. The proof involves large deviations, construction of correctors which lead to exponential martingales, and identification of asymptotically optimal policies.

研究の動機と目的

• 1次元において非凸で確率的なハミルトニアンを有する粘性ハミルトン・ジャコビ方程式の均質化を確立すること。
• 確率的ポテンシャル内でのブラウン運動の指数モーメントの漸近的成長率として有効ハミルトニアンを特徴付けること。
• 指数マルティンゲールと補正項を含む制御理論的枠組みを導入することで、凸ハミルトニアンを超える均質化理論の拡張を図ること。
• ポテンシャルが一般の混合的エルゴード的条件下に置かれた場合に、PDEの解が概収束して均質化極限に到達することを証明すること。

提案手法

• Hopf-Cole変換を用いて、PDEの解を確率的ポテンシャル内での制御付きブラウン運動の指数モーメントとして表現する。
• 大偏差理論と傾き自由エネルギー理論を用いて、これらの指数モーメントの漸近的挙動を分析する。
• 指数マルティンゲールを導く補正項を構築し、漸近的に最適な制御方策を特定可能にする。
• ポテンシャルのエルゴード性と経路の正則性を活用して、粘性解の存在と一意性を保証する。
• 陰関数定理と優越収束定理を用いて、有効ハミルトニアンの微分可能性と連続性を証明する。
• 制御表現と粘性解理論を組み合わせることで、均質化極限における収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的ポテンシャルが存在する非凸ハミルトニアンを有する粘性ハミルトン・ジャコビ方程式について、均質化を確立できるか？
• RQ2 このような非凸かつ確率的設定下での有効ハミルトニアンは何か？ また、ポテンシャルの統計的性質とどのように関係しているか？
• RQ3 確率的ポテンシャル内でのブラウン運動の指数モーメントの漸近的挙動は、どのように均質化された力学に影響を与えるか？
• RQ4 ポテンシャルにどのような条件下で、PDEの解が概収束して均質化解に到達するか？
• RQ5 有効ハミルトニアンは連続的に微分可能か？ また、ハミルトニアンとポテンシャルのパrameterにどのように依存するか？

主な発見

• 有効ハミルトニアン Hβ,c(θ) は、ポテンシャル βV 内でのブラウン運動の傾き自由エネルギーの形で明示的に与えられる。これは非明示的ではあるが、過程の法則を介して明確に定義される。
• ほとんどすべての実現 ω に対して、ε→0 のとき、解 uεθ(t,x,ω) はコンパクト集合上で (t,x) に関して一様に Hβ,c(θ)t + θx に概収束する。
• 線形初期データに限らない一般の g∈UC(R) 初期データに対しても、収束結果の一般化により、均質化極限が成立する。
• Λβ(θ)>β である θ の集合上で、有効ハミルトニアンは θ に関して連続的微分可能であり、対称的である：Λβ(−θ)=Λβ(θ) であり、Λβ(0)=β である。
• 指数モーメントの漸近的成長率は、制御付き拡散過程の下での下界の最小値として特徴づけられ、c>0 のとき最適制御はバン・バン制御である。
• 証明は補正項の構築と、漸近的に最適な方策を特定するための指数マルティンゲールの使用に依存する。