[論文レビュー] Homogenization of a transmission problem with Hamilton-Jacobi equations and a two-scale interface. Effective transmission conditions

Yves Achdou, Nicoletta Tchou|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、振幅が $\varepsilon$、周期が $\varepsilon^2$ である二重スケールの周期的界面を介したハミルトニアン・ジャコビ方程式の伝達問題の均質化を研究する。$\varepsilon \to 0$ のとき、値関数は平坦な界面 $\Gamma$ で分けられた二つの半平面におけるハミルトニアン・ジャコビ方程式の解に局所的に一様に収束する。このとき、界面 $\Gamma$ 上には、消滅する周期的振動の記憶を反映した有効な伝達条件が導かれる。この有効伝達条件は、粘性解理論と周期的ハミルトニアンの漸近解析を用いて得られる。

ABSTRACT

We consider a family of optimal control problems in the plane with dynamics and running costs possibly discontinuous across a two-scale oscillatory interface. Typically, the amplitude of the oscillations is of the order of $\\epsilon$ while the period is of the order of $\\epsilon$ 2. As $\\epsilon$ $\ ightarrow$ 0, the interfaces tend to a straight line $\\Gamma$. We study the asymptotic behavior of the value function as $\\epsilon$ $\ ightarrow$ 0. We prove that the value function tends to the solution of Hamilton-Jacobi equations in the two half-planes limited by $\\Gamma$, with an effective transmission condition on $\\Gamma$ keeping track of the oscillations.

研究の動機と目的

• 二重スケールの周期的界面を有する2次元最適制御問題における値関数の漸近的挙動を分析すること。
• 極限問題を、平坦な界面 $\Gamma$ で分けられた二つの半平面におけるハミルトニアン・ジャコビ方程式系として、$\Gamma$ 上に有効な伝達条件を有する形で特徴づけること。
• 振幅 $\varepsilon$、周期 $\varepsilon^2$ の界面の消失する周期的振動からの情報を保持する有効伝達条件を導出すること。
• 振幅と周期が等しい場合（$\varepsilon$）の従来の均質化結果を、周期が $\varepsilon^2$ である特異摂動領域に拡張すること。
• 偏微分方程式理論における比較原理とテスト関数技法を用いて、値関数が有効問題の粘性解に収束することを確立すること。

提案手法

• ハミルトニアン・ジャコビ方程式に界面での伝達条件を課した場合の粘性解理論の適用。
• Imbert と Monneau (2018) のインスピレーションを受けて、界面における伝達条件を扱うための簡略化されたテスト関数集合の使用。
• $\varepsilon \to 0$ の極限における漸近解析。界面は平坦な直線 $\Gamma$ に収束し、振動は $\varepsilon$ と $\varepsilon^2$ でスケーリングされる。
• 接続点近傍の挙動に基づき、有効ハミルトニアンを導出するための補正関数の構成と、エルゴード的議論の使用。
• 文献 [19, 18] の手法に従い、界面で動的混合が許されない状況を扱うために、界面で一つのテスト関数を用いる。
• 勾配とハミルトニアンの正則性に関する一様有界性に依拠し、連続性のモジュラス推定と背理法による収束証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\varepsilon \to 0$ のとき、振幅 $\varepsilon$、周期 $\varepsilon^2$ の界面を有する最適制御問題の値関数はどのように振る舞うか？
• RQ2 消滅する二重スケールの周期的振動の影響を捉えるために、極限平坦界面 $\Gamma$ 上に導かれる有効伝達条件は何か？
• RQ3 界面で動的混合が許可されない場合に、値関数が二つの半平面に分けられたハミルトニアン・ジャコビ方程式系の解に収束することは示せるか？
• RQ4 有効伝達条件は、動的性質、走行コスト、および周期的界面の幾何的構造にどのように依存するか？
• RQ5 等スケールの振動とは異なり、変数変換によって界面を平坦化できない状況を扱うために必要な技法は何か？

主な発見

• 値関数は、平坦な界面 $\Gamma$ で分けられた各半平面におけるハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解に局所的に一様に収束する。
• 界面 $\Gamma$ 上の有効伝達条件は、周期的データの極限として導かれ、動的性質、走行コスト、および界面の二重スケール構造に依存する。
• 有効伝達条件は、界面近傍における漸近的挙動から生じる均質化ハミルトニアンを通じて、振動の記憶を保持する。
• 収束証明は、元の問題における比較原理と、ハミルトニアンおよび勾配の有界性に関する一様連続性推定に依拠した背理法に依存する。
• 有効伝達条件は、周期的セル問題に関連するエルゴード定数の極限として特徴づけられ、ネットワークにおける接続問題と類似している。
• 本手法は、[3] の既存結果を、周期が $\varepsilon^2$ である特異摂動領域に拡張したものであり、界面を変数変換で平坦化できないため、新たな解析的道具が必要となる。