[論文レビュー] Homogenization of the Neumann problem for higher-order elliptic equations with periodic coefficients

T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

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ひとこと要約

本稿は、周期的係数をもつ高階楕円型ノイマン問題のホモゲナイゼーションにおける鋭い作用素誤差推定を確立する。$ L_2 $ および $ H^p $ ノルムにおける解の作用素 $ (A_{N,\rho}-\zeta I)^{-1} $ の近似を導出し、誤差項が $ \varepsilon^{1/2}\rho_\flat(\zeta)^{1/2} + \varepsilon|\zeta+1|\rho_\flat(\zeta) $ のオーダーであることを示す。正則性とランクの最適条件の下で、補正項 $ \varepsilon^p K_N^0(\zeta;\varepsilon) $ を用いる。

ABSTRACT

Let $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{2p}$. In $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we study a selfadjoint strongly elliptic operator $A_{N,\varepsilon}$ of order $2p$ given by the expression $b({\mathbf D})^* g({\mathbf x}/\varepsilon) b({\mathbf D})$, $\varepsilon >0$, with the Neumann boundary conditions. Here $g({\mathbf x})$ is a bounded and positive definite $(m imes m)$-matrix-valued function in ${\mathbb R}^d$, periodic with respect to some lattice; $b({\mathbf D})=\sum_{|α|=p} b_α{\mathbf D}^α$ is a differential operator of order $p$ with constant coefficients; $b_α$ are constant $(m imes n)$-matrices. It is assumed that $m\geqslant n$ and that the symbol $b({\boldsymbol ξ})$ has maximal rank for any $0 e {\boldsymbol ξ}\in {\mathbb C}^d$. We find approximations for the resolvent $\left(A_{N,\varepsilon}-ζI ight)^{-1}$ in the $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$-operator norm and in the norm of operators acting from $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ to the Sobolev space $H^p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, with error estimates depending on $\varepsilon$ and $ζ$.

研究の動機と目的

• 有界な $ C^{2p} $ 域における周期的係数をもつ自己共役かつ強楕円的で高階の微分作用素（$ 2p $ 階）のホモゲナイゼーションを解析すること。
• ホモゲナイゼーションのリゾルベント $ (A_{N,\rho} - \zeta I)^{-1} $ に対する作用素ノルム誤差推定を、$ \varepsilon \to 0 $ のとき $ L_2 $ および $ H^p $ 空間で得ること。ここで $ \varepsilon $ は周期性のスケールを表す。
• リゾルベントの $ H^p $ ノルムにおける近似を改善するための補正項 $ \varepsilon^p K_N^0(\zeta;\varepsilon) $ を構成すること。
• 誤差推定が複素数平面 $ \mathbb{C} \setminus [c_\flat, \infty) $ 内のスペクトルパラメータ $ \zeta $ に明示的に依存することを確立すること。これにより低周波数および高周波数の振るまいを捉える。

提案手法

• 作用素理論的アプローチを用い、スケーリング変換、フロケ＝ブロイー理論、解析的摂動論を基盤とする。
• 微分作用素は $ A_{N,\varepsilon} = b(\mathbf{D})^* g(\mathbf{x}/\varepsilon) b(\mathbf{D}) $ と因数分解される。ここで $ b(\mathbf{D}) $ は最大ランクの記号をもつ $ p $ 階定数係数作用素である。
• 有効作用素 $ A_N^0 $ は、$ g(\mathbf{x}) $ の周期的構造から導かれるホモゲナイズド行列 $ g^0 $ を用いて構成される。
• スペクトル解析をフーリエ領域で行い、リゾルベントの恒等式およびスペクトル射影作用素と補正作用素の推定を用いて誤差推定を導出する。
• 補正作用素 $ K_N^0(\zeta;\varepsilon) $ は明示的に定義され、$ \varepsilon $ スケールでの解の振動的挙動を捉えることが示され、$ \|K_N^0(\zeta;\varepsilon)\|_{L_2 \to H^p} = O(\varepsilon^{-p}) $ である。
• 推定は二つの作用素ノルム（$ L_2 \to L_2 $ および $ L_2 \to H^p $）で行われ、$ \varepsilon $、$ \zeta $、およびスペクトル関数 $ \rho_\flat(\zeta) $ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモゲナイゼーションのリゾルベント $ (A_{N,\varepsilon} - \zeta I)^{-1} $ が $ \varepsilon \to 0 $ のとき $ L_2 $-作用素ノルムでどの程度の速度で $ (A_N^0 - \zeta I)^{-1} $ に収束するか。
• RQ2 $ H^p $ ノルムにおいて、補正項を用いることで、一次近似をどのように改善できるか。
• RQ3 誤差が複素数平面 $ \mathbb{C} \setminus [c_\flat, \infty) $ 内のスペクトルパラメータ $ \zeta $ にどのように依存するか。
• RQ4 補正項が消えるまたは単純化される条件は何か。これにより誤差推定にどのような影響があるか。
• RQ5 第二階微分作用素の結果を拡張して、周期的係数をもつ高階楕円型ノイマン問題に対して鋭い作用素誤差推定を導出できるか。

主な発見

• リゾルベント $ (A_{N,\varepsilon} - \zeta I)^{-1} $ は、$ L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n) \to L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n) $ ノルムで、$ 0 < \varepsilon \leq \varepsilon_1 $ のとき、誤差 $ \leq \mathfrak{C}_1 \left( \varepsilon^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/2} + \varepsilon |\zeta+1| \rho_\flat(\zeta) \right) $ で $ (A_N^0 - \zeta I)^{-1} $ に収束する。
• リゾルベントの $ L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n) \to H^p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n) $ ノルムにおいて、誤差は $ \widetilde{\mathfrak{C}}_{10} \left( \varepsilon^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/2} + \varepsilon |\zeta+1| \rho_\flat(\zeta) \right) $ で有界であり、補正項 $ \varepsilon^p K_N^0(\zeta;\varepsilon) $ を含む。
• $ g^0 = \overline{g} $ のとき、補正項は消え、誤差推定は $ \| \mathbf{u}_\varepsilon - \mathbf{u}_0 \|_{H^p} \leq \mathfrak{C}_{10} \left( \varepsilon^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/2} + \varepsilon |\zeta+1| \rho_\flat(\zeta) \right) \| \mathbf{F} \|_{L_2} $ に簡略化される。
• フラックス $ \mathbf{p}_\varepsilon = g^\varepsilon b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_\varepsilon $ に対して、$ L_2 $-ノルムにおける誤差は $ \widetilde{\mathfrak{C}}_{11} \left( \varepsilon^{1/2} \rho_\flat(\zeta)^{1/2} + \varepsilon |\zeta+1| \rho_\flat(\zeta) \right) \| \mathbf{F} \|_{L_2} $ で有界である。
• $ g^0 = \underline{g} $ のとき、誤差推定は $ \| \mathbf{u}_\varepsilon - \mathbf{v}_\varepsilon^0 \|_{H^p} \leq \widehat{\mathfrak{C}}_{10} \varepsilon \left( \rho_\flat(\zeta)^{1/2} + |\zeta+1| \rho_\flat(\zeta) \right) \| \mathbf{F} \|_{L_2} $ に変わる。これは $ \varepsilon $ にさらなる改善された依存性を示している。
• 推定は鋭く、スペクトルパラメータ $ \zeta $ に明示的に依存しており、$ \rho_\flat(\zeta) $ はリゾルベントのスペクトルギャップおよび減衰性質を符号化している。