[論文レビュー] Homological algebra in characteristic one

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、特徴量1におけるトポス上の層の圏のためのホモロジー代数枠組みを、ブール半体 𝔹 = {0,1} 上の加群の圏をプロトタイプとして開発する。コモノイドがこの圏上のEilenberg-Moore圏が半正確かつホモロジー的圏であることを確立し、対角準同型の余核を通じて非自明なExt函手を計算することで、有限対象に対しても消滅しないコホモロジーを示している。

ABSTRACT

This article develops several main results for a general theory of homological algebra in categories such as the category of sheaves of idempotent modules over a topos. In the analogy with the development of homological algebra for abelian categories the present paper should be viewed as the analogue of the development of homological algebra for abelian groups. Our selected prototype, the category Bmod of modules over the Boolean semifield B is the replacement for the category of abelian groups. We show that the semi-additive category Bmod fulfills analogues of the axioms AB1 and AB2 for abelian categories. By introducing a precise comonad on Bmod we obtain the conceptually related Kleisli and Eilenberg-Moore categories. The latter category Bmod^s is simply Bmod in the topos of sets endowed with an involution and as such it shares with Bmod most of its abstract categorical properties. The three main results of the paper are the following. First, when endowed with the natural ideal of null morphisms, the category Bmod^s is a semi-exact, homological category in the sense of M. Grandis. Second, there is a far reaching analogy between Bmod^s and the category of operators in Hilbert space, and in particular results relating null kernel and injectivity for morphisms. The third fundamental result is that, even for finite objects of Bmod^s the resulting homological algebra is non-trivial and gives rise to a computable Ext functor. We determine explicitly this functor in the case provided by the diagonal morphism of the Boolean semiring into its square.

研究の動機と目的

• トポス上のℝ_max加群の層のようなアーベル圏でないが、コホモロジー的道具を必要とする圏のためのホモロジー代数枠組みを構築すること。
• 𝔹 = {0,1} における𝔹加群の圏（ここで𝔹は{0,1}）をプロトタイプとして用い、アーベル圏ホモロジー代数の概念的類似を確立すること。
• 𝔹加群上のコモノイドのEilenberg-Moore圏が半正確かつホモロジー的圏をなすことの証明を通じて、コホモロジー的構成を可能にすること。
• 有限の場合にExt函手を明示的に計算し、特徴量1における非自明なホモロジー代数の存在を示すこと。

提案手法

• 𝔹加群の圏にコモノイドを導入し、KleisliおよびEilenberg-Moore圏の構成をもたらす。
• 集合の対合を持つトポスにおける𝔹-modと同値であるEilenberg-Moore圏 𝔹-mod^𝔰 を用いて、ホモロジー的構造を定義する。
• 圏 𝔹-mod^𝔰 に自然な零射のイデアルを導入し、核、余核、厳密な完全列の定義を可能にする。
• 衛星函手の理論を用い、対角準同型 Δ: 𝔹 → 𝔹 × 𝔹 の余核を通じてExt函手を計算する。
• 双対性およびガロア接続を用いて、特に自己準同型およびその拡張の文脈における対象および準同型の構造を分析する。
• 代表可能性およびコマ・カテゴリを用い、対角の余核およびその誘導される自己準同型を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル圏でないような、例えばトポス上のℝ_max加群の層のような圏において、意味のあるホモロジー代数理論を構築できるか？
• RQ2 𝔹 = {0,1} における𝔹加群の圏は、アーベル圏と類似したホモロジー的構造を有するか？
• RQ3 有限対象に対しても、𝔹加群の圏におけるExt函手は非自明か？
• RQ4 Eilenberg-Moore圏におけるコモノイドの構造において、双対性および対合の役割は何か？
• RQ5 このホモロジー的枠組みにおいて、零射および核-余核列はどのように振る舞うか？

主な発見

• 零射のイデアルを備えたEilenberg-Moore圏 𝔹-mod^𝔰 は、半正確かつホモロジー的圏である。
• 圏 𝔹-mod^𝔰 は、特に零核および単射性の挙動において、ヒルベルト空間上の有界作用素の圏と深い類似関係を示す。
• Ext函手は非自明であり、明示的に計算可能である：対角準同型 Δ: 𝔹 → 𝔹 × 𝔹 に対して、Ext群は特定の函手 F(α′′) の余核に同型である。
• 函手 F = Hom_{𝔹-mod^𝔰}(Q, −) の衛星函手 SF は非零であり、SF(K) は正確に余核 Coker(F(α′′)) に一致する。
• 余核 Coker(F(α′′)) には16個の零元と12個の非零元があり、F(α′′) の像に制限された自己準同型の作用は、この余核上で零写像である。
• 短い二重完全列 α の自己準同型が誘導する余核の変換は28個存在し、そのうち16個は零元へ写像する零変換である。