[論文レビュー] Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence

Leonid Positselski|May 17, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 119

ひとこと要約

本稿は、DG代数およびCDG代数上のDGモジュール、コモジュール、コントラモジュールの文脈において、2種類の導来圏——第一種の導来圏（標準的導来圏）と第二種の導来圏（コーダイレバードおよびコントラダイレバード圏）——の基礎的枠組みを確立する。Koszul双対性とコモジュール-コントラモジュール対応が、これらの導来圏を通じて統一され、主な結果として、コクイズィズム的DG代数では導来圏、コーダイレバード圏、コントラダイレバード圏が同値であり、有限なホモロジー次元の下で対応が成立することを示している。

ABSTRACT

This paper can be thought of as an extended introduction to arXiv:0708.3398; nevertheless, most of its results are not covered by loc. cit. We consider the derived categories of DG-modules, DG-comodules, and DG-contramodules, the coderived and contraderived categories of CDG-modules, the coderived categories of CDG-comodules, and the contraderived categories of CDG-contramodules. The equivalence between the latter two categories (the comodule-contramodule correspondence) is established. Nonhomogeneous Koszul duality or "triality" (an equivalence between exotic derived categories corresponding to Koszul dual (C)DG-algebra and CDG-coalgebra) is obtained in the conilpotent and nonconilpotent versions. Various $A_\infty$-structures are considered, and a number of model category structures are described. Homogeneous Koszul duality and $D$-$Ω$ duality are discussed in the appendices.

研究の動機と目的

• Koszul双対性に伴うスペクトル系列の収束問題を解消するため、2種類の導来圏を区別すること。
• コーダイレバード圏およびコントラダイレバード圏を通じてコモジュールとコントラモジュールの間に双対性を確立すること。
• CDG構造およびA∞代数を用いて、非コネルポテンシャル的および曲がった状況へのKoszul双対性の一般化を図ること。
• モデル圏およびホモトピー論的代数の技法を用いて、DGモジュール、コモジュール、コントラモジュールの導来圏を統一すること。
• CDG環において有限なホモロジー次元を満たす場合、コーダイレバード圏とコントラダイレバード圏が一致することを証明すること。特に、自由な次数付き代数をもつ場合を含む。

提案手法

• 標準的導来圏（準同形的複体による商）とコーダイレバード／コントラダイレバード圏（微分を無視した場合に射影的／単射的となるモジュールを持つ複体による商）という2つの導来圏を導入する。
• 完成化およびフィルトレーション技法を用いてスペクトル系列の収束を保証し、不完全なフィルトレーションを完全なフィルトレーションに置き換える。
• 有限なホモロジー次元の下で、コーダイレバード圏とコントラダイレバード圏を同定する双対関手を介してコモジュール-コントラモジュール対応を適用する。
• DGモジュール、CDGコモジュール、CDGコントラモジュールにモデル圏構造を適用し、ホモトピー圏を構成し、導来関手を導出する。
• ${ m D}$–$ ext{Hom}$双対性およびリース代数技法を用いて、有界な整合的導来圏がフィルトレートされたモジュールによって生成されることを示す。
• 忘却関手および全射化を用いて、CDGモジュールの絶対的導来圏をフィルトレートされたモジュールの有界導来圏に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なフィルトレーションが不完全であるために失敗する場合、Koszul双対性に伴うスペクトル系列をどのように収束させることができるか？
• RQ2 DGおよびCDG構造の文脈において、コーダイレバード圏とコントラダイレバード圏の正確な関係は何か？
• RQ3 どのような場合に、DG代数上のDGモジュールの導来圏、コーダイレバード圏、コントラダイレバード圏が一致するか？
• RQ4 コモジュール-コントラモジュール対応は、曲がったA∞-コモジュールおよびCDG代数へどのように拡張されるか？
• RQ5 どのような条件下で、CDG環の導来圏がそのコーダイレバード圏およびコントラダイレバード圏と一致するか？

主な発見

• 完全なフィルトレーションを用いることでスペクトル系列は収束し、無限積と無限直和の2つの異なる完成化方法が2つの異なる全複体をもたらす。
• 第一種の導来圏は、ホモトピー圏を準同形的複体で割ったものであり、第二種の導来圏は、微分を無視した場合に単射的または射影的となる複体の完全部分圏に同値である。
• 任意のDG代数に対して、導来圏、コーダイレバード圏、コントラダイレバード圏は同値であり、任意のDG代数はコクイズィズム的DG代数に準同形的であるためである。
• CDG代数の次数付き代数が自由である場合、コーダイレバード圏とコントラダイレバード圏は一致し、コモジュール-コントラモジュール対応が成立する。
• ${ m O}_X$-整合的CDGモジュールの絶対的導来圏は、フィルトレートされたモジュールによって生成され、イデムポテンス完備性に関して閉じており、有界整合的圏との双対性を保証する。
• フィルトレートされた${ m D}$-モジュールのリース代数はネーター的であり、有限なホモロジー次元を持つため、整合的フィルトレートモジュールを標準的なフィルトレートモジュールの和で解体できる。