[論文レビュー] Homological and homotopical higher-order filling functions

Robert M. Young|ArXiv.org|May 5, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、3次元ホモロジカルな充填関数 $FV^3(n)$ と2次元デーン関数 $\bar{\rho}^2(n)$ が一般に同値でない有限生成群を構成し、$k \geq 3$ の場合、$k$-次元デーン関数 $\bar{\rho}^k(n)$ が非再帰的であるような群が存在することを示している。構成は、非再帰的充填サイズを持つ群 $G$ に依拠しており、これにより積群と線形代数的境界を用いて、高次元充填関数における非同値性および非再帰的成長を示している。

ABSTRACT

We construct groups in which FV^3(n) != δ^2(n). This construction also leads to groups G_k, k >= 3 for which δ^{k}(n) is not subrecursive.

研究の動機と目的

• 3次元ホモロジカル充填関数 $FV^3(n)$ と2次元デーン関数 $\bar{\rho}^2(n)$ が、一般に同値でないことを示すこと、特に単語問題が解ける群に対しても同様であることを示すこと。
• 3次以上の $k$ に対して、$k$-次元デーン関数 $\bar{\rho}^k(n)$ が非再帰的であるような群を構成し、このような関数が任意の計算可能関数よりも速く成長しうることを示すこと。
• 特定の群に対して、充填サイズ関数 $\operatorname{FSize}_G(n)$ が非再帰的であることを確立し、これを用いて積群の高次元充填関数における非再帰的挙動を導出すること。
• 異なる充填関数（特に $FV^k$, $\bar{\rho}^k$, $\bar{\rho}^M$）の関係を明確にし、Brady らの同値性結果が次元3にまで拡張されないことを示すこと。
• 境界多様体の位相的性質（例えば、非自明な基本群）が充填複雑性に与える影響を、特に球面充填と比較して調査すること。

提案手法

• 有限なアセイフォールプレゼンテーションを用い、関係式の長さが有界である群 $G$ を構成し、非再帰的充填サイズ $\operatorname{FSize}_G(n)$ を得る。
• $\mathbb{R}$ 上の線形代数を用いて、充填チェイン $\gamma$ の $\ell^1$-ノルムをその台のサイズの関数として評価し、$FV_{X,\mathbb{R}}^k(n)$ が $\operatorname{FSize}_X(n)$ の再帰的関数によって上界を持つことを示す。
• 定理2を適用し、$\operatorname{FSize}_G(n)$ が非再帰的であれば、任意の $k \geq 1$ に対して $FV^k_{G^k,\mathbb{Z}}(n)$ も非再帰的であることを示す。
• Brady らの定理4を用い、次元 $k+1 \geq 4$ の多様体 $M$ に対して $\delta^M(n)$ と $\delta^k(n)$ の関係を確立し、$k \geq 3$ の場合に $\delta^k_{G^k}(n)$ が非再帰的成長を示すように拡張する。
• $k$-次元球面の写像 $\alpha$ が大きな充填体積を持つ場合、その像に非再帰的に大きな2次元円板が含まれることを示し、$k$-体積が一定であっても複雑性が増加することを示す。
• 既知の結果（例えば、Papasogluの定理）を用い、$\mathcal{F}^3$ 群に対して $\delta^2_G(n)$ が再帰的であることを示し、$FV^3_{G\times G,\mathbb{Z}}(n)$ の非再帰的成長と組み合わせることで、$\delta^2_{G\times G}(n)$ との非同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ホモロジカル充填関数 $FV^3(n)$ は、有限生成群において、2次元デーン関数 $\delta^2(n)$ と同値でないことがあるか？
• RQ2 $k \geq 3$ の場合、$k$-次元デーン関数 $\delta^k(n)$ が非再帰的であるような群は存在するか？
• RQ3 充填サイズ $\operatorname{FSize}_G(n)$（充填における異なる2セルの数を数える関数）は、ある群において非再帰的であることがあるか？その場合、高次元充填関数にどのような影響があるか？
• RQ4 境界多様体の位相的性質（例えば、非自明な基本群）は、特に球面充填と比較して、充填の複雑性にどのように影響するか？
• RQ5 種数 $g$ の曲面を充填するのとトーラスを充填するのとで、難易度に差が生じる群は存在するか？そのような差を生じさせる構造的特徴は何か？

主な発見

• ある群 $G$ に対して $FV^3_{G,\mathbb{Z}}(n) \nsim \delta^2_G(n)$ が成り立つことが示され、ホモロジカルおよびホモトピー的高次元充填関数が一般に同値でないことを示している。
• $k \geq 3$ の場合、$k$-次元デーン関数 $\delta^k_G(n)$ が非再帰的であるような群 $G_k$ が存在し、これは任意の計算可能関数よりも速く成長することを意味する。
• 特定の群 $G$ に対して、充填サイズ関数 $\operatorname{FSize}_G(n)$ は非再帰的であり、この性質は $k \geq 1$ に対して $FV^k_{G^k,\mathbb{Z}}(n)$ も非再帰的であることを示唆している。
• 構成により、非再帰的に大きな2次元円板を含む写像 $\alpha^\prime$ の像が得られ、$k$-体積が一定であってもリプシッツ定数および単体の数が増加する。
• $G = BS(1,2)$ の場合、積群 $G \times G$ に対して $FV^3_{G\times G,\mathbb{Z}}(n) \succeq 2^{\sqrt{n}}$ が成り立ち、一方 $\delta^2_{G\times G}(n) \preceq n^2$ であるため、トーラス充填と球面充填の間で顕著なギャップがあることが示された。
• $FV^3_{G,\mathbb{Z}}(n) \nsim \delta^2_G(n)$ の結果は、単語問題が解ける群に対しても成り立つ。例として $G = BS(1,2) \times BS(1,2)$ が提示された。