[論文レビュー] Homological differential calculus

Nicolas Vichery|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、微局所層理論を用いて、閉じた滑らかな多様体上の連続関数に対して、新しいホモロジー的劣微分を導入し、その斉一次性、ライブニッツ則、および一様収束における近似性を確立する。主な貢献は、古典的 notions を一般化し、特に $C^0$ におけるシンプレクティック幾何学および非凸ハミルトニアン系におけるアウブリ・マザー理論に適した、堅牢でホモロジー的根拠を持つ劣微分の構築である。

ABSTRACT

This article provides a definition of a subdifferential for continuous functions based on homological considerations. We show that it satisfies all the requirement for a good notion of subdifferential. Moreover, we prove sublinearity, a Leibniz formula and an approximation result. This work fits in the framework of microlocal analysis of sheaves for C^0 symplectic problems and application to Aubry-Mather theory.

研究の動機と目的

• ホモロジー的および微局所層理論的手段を用いて、連続関数のための新しい劣微分を定義すること。
• 新しい劣微分が、斉一次性やライブニッツ則を含む、良好な劣微分の標準的公理を満たすように保証すること。
• 微サポートに関する高度な知識がなくても理解可能な、ホモロジーに基づく代替定義を提供すること。
• 一様収束する $C^0$ 関数列に対して近似結果を確立すること。
• 非凸ハミルトニアン系へのアウブリ・マザー理論の拡張の基盤をこの新しい劣微分を用いて構築すること。

提案手法

• Kashiwara-Schapira の枠組みに従い、層の微サポートおよび層の特異的サポートを用いてホモロジー的劣微分を定義する。
• コhomology的変化による微局所モース変形の概念を用い、臨界点を特徴づけ、劣微分を定義する。
• 関数が連続である場合に、高度な層理論的道具に依存せずに、特異的ホモロジーを用いて劣微分を確立する。
• 層の準同型および微サポートの性質を用いて、ホモロジー的劣微分の斉一次性およびライブニッツ公式を証明する。
• 一様収束する $C^0$ 数列に対して劣微分が良好に振る舞うことを示し、シンプレクティック幾何におけるポアソン括弧の極限と関連付ける。
• 拡張されたレジェンドル変換を層の微サポートに関連づけ、ホモロジー的劣微分が $T^*M$ 内の微分の回転されたグラフに対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモロジー的および微局所層理論的道具を用いて、連続関数のための劣微分を定義できるか？
• RQ2 このホモロジー的劣微分は、斉一次性やライブニッツ則といった、劣微分の標準的公理を満たすか？
• RQ3 このホモロジー的劣微分は、リプシッツ関数の場合の古典的劣微分（クラーク劣微分や近似劣微分）とどのように関係するか？
• RQ4 この劣微分を用いて、非凸ハミルトニアン系におけるアウブリ・マザー理論を一般化できるか？
• RQ5 一様収束する $C^0$ 数列に対して、劣微分の挙動はいかなるものか、特にポアソン括弧とどのように関係するか？

主な発見

• ホモロジー的劣微分は、すべての良好な劣微分の標準的要件（斉一次性、ライブニッツ則）を満たす。
• 高度な微サポートの道具に依存しない、代替的なホモロジーに基づく定義が提供され、連続関数に対しても利用可能である。
• 劣微分は一様収束に対して安定である：$f_n \to f$ が $C^0$ で成り立つならば、$f$ の劣微分は十分大きな $n$ に対して $f_n$ の劣微分の閉包の共通部分集合に含まれる。
• ホモロジー的劣微分は、$C^1$ 関数に対する古典的微分を一般化し、自然に $C^0$ 関数へ拡張できる。
• リプシッツ関数の拡張されたレジェンドル変換は、その凸共役のepigraphに付随する層と同型であり、層理論的構成と凸解析とを結びつける。
• ホモロジー的劣微分は、標準的回転 $J$ による $T^*M$ 内の微分の回転されたグラフに対応し、シンプレクティックな観点から幾何的解釈が可能である。