[論文レビュー] Homological index formulas for elliptic operators over C*-algebras

Charlotte Wahl|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、C*-代数の係数をもつ閉多様体上の楕円型作用素に対して、K理論から滑らかな部分代数のde Rhamホモロジーへのカロービのチャーン類を用いて、ホモロジー的インデックス公式を確立する。一般化されたインデックス定理を証明し、被覆、平坦なフォリエーションバンドル、C*-動的系の高次インデックス定理を統一的かつ拡張的に扱う。非可換スペクトルフローおよびC*-代数上の擬微分作用素の正則性への応用を含む。

ABSTRACT

We prove index formulas for elliptic operators acting between sections of C*-vector bundles on a closed manifold. The formulas involve Karoubi's Chern character from K-theory of a C*-algebra to de Rham homology of smooth subalgebras. We show how they apply to the higher index theorem for coverings and to flat foliated bundles, and prove an index theorem for C*-dynamical systems associated to actions of compact Lie groups. In an Appendix we relate the pairing of odd K-theory and KK-theory to the noncommutative spectral flow and prove the regularity of elliptic pseudodifferential operators over C*-algebras.

研究の動機と目的

• C*-代数の係数をもつ閉多様体上の楕円型作用素に対して、カロービのチャーン類を用いたホモロジー的インデックス公式を構築すること。
• インデックス公式を被覆および平坦なフォリエーションバンドルの高次インデックス定理と関連付けること。
• コンpakトなリー群作用と関連するC*-動的系のインデックス定理を確立すること。
• インデックス理論の文脈において、K理論とKK理論のペアリングが非可換スペクトルフローとどのように関係するかを明らかにすること。
• Sobolev空間上におけるC*-代数上の楕円型擬微分作用素の正則性および随伴可能性を証明すること。

提案手法

• C*-代数のK理論からその滑らかな部分代数のde Rhamホモロジーへのカロービのチャーン類を用いる。
• カロービのチャーン類がK理論におけるテンソル積と整合することを確立し、ミシコフスキー＝フォメンコのチャーン類と比較する。
• インデックス公式を適用して、コンネス＝モスコビチの高次インデックス定理のC*-代数的版を導出する。
• 平坦なフォリエーションバンドルのための新しい滑らかな部分代数を導入し、従来の構成を一般化する。
• 楕円型擬微分作用素が適切なSobolev空間間で正則な非有界作用素としておよび随伴可能であることを証明する。
• C*-代数上の古典的擬微分作用素の記号列の完全性を用いて、主要な構造的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カロービのチャーン類をどのように用いて、C*-代数上の楕円型作用素のためのホモロジー的インデックス公式を定式化できるか？
• RQ2 C*-代数的インデックス理論の文脈において、カロービのチャーン類とミシコフスキー＝フォメンコのチャーン類の関係は何か？
• RQ3 提案されたインデックス公式は、被覆および平坦なフォリエーションバンドルの高次インデックス定理をどのように回復または一般化するか？
• RQ4 K₁理論とKK理論のペアリングは、非可換スペクトルフローとどのような関係にあるか？
• RQ5 Sobolev空間上におけるC*-代数上の楕円型擬微分作用素の正則性および随伴可能性の性質は何か？

主な発見

• この論文は、C*-代数の係数をもつ閉多様体上の楕円型作用素に対して、カロービのチャーン類をde Rhamホモロジーに適用することで、一般インデックス定理を証明する。
• インデックス公式は、コンネス＝モスコビチの高次インデックス定理のC*-代数的版を特別な場合として回復する。
• この論文は、ペアリング $ K_1(\text{A}) \times KK_1(\text{A}, \text{B}) \to K_1(\text{B}) $ が非可換スペクトルフローに対応することを確立する。
• C*-代数上の楕円型擬微分作用素が、固定されたSobolev空間上で正則な非有界作用素としておよびSobolev空間間で随伴可能であることが示される。
• 恒等写像が作用素のHilbert C*-加群とSobolev空間 $ H^s(M,E) $ の間で随伴可能な同型を誘導し、インデックスが適切に定義されることを保証する。
• C*-代数上の古典的擬微分作用素の記号列が完全であることが示され、$ \Psi_{\mathcal{A}} \cong \Psi_{\mathbb{C}} \otimes \mathcal{A} $ が成り立ち、K理論的クラスの構造が保存される。