[論文レビュー] Homological Product Codes

Sergey Bravyi, Matthew B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ホモロジー的積構成を用いて、ランダムな量子符号と代数的位相幾何学的手法を組み合わせることで、定数符号化レートと線形距離を有する最初の良い量子LDPC符号の族を構築する。得られる符号は安定化子重み $O(\sqrt{n})$ を達成し、従来のすべての良い量子符号で見られた線形安定化子重みという制限を克服する。この結果は確率的構成と Künneth 公式を用いて証明されている。

ABSTRACT

Quantum codes with low-weight stabilizers known as LDPC codes have been actively studied recently due to their simple syndrome readout circuits and potential applications in fault-tolerant quantum computing. However, all families of quantum LDPC codes known to this date suffer from a poor distance scaling limited by the square-root of the code length. This is in a sharp contrast with the classical case where good families of LDPC codes are known that combine constant encoding rate and linear distance. Here we propose the first family of good quantum codes with low-weight stabilizers. The new codes have a constant encoding rate, linear distance, and stabilizers acting on at most $\sqrt{n}$ qubits, where $n$ is the code length. For comparison, all previously known families of good quantum codes have stabilizers of linear weight. Our proof combines two techniques: randomized constructions of good quantum codes and the homological product operation from algebraic topology. We conjecture that similar methods can produce good stabilizer codes with stabilizer weight $n^a$ for any $a>0$. Finally, we apply the homological product to construct new small codes with low-weight stabilizers.

研究の動機と目的

• 定数符号化レートと線形距離を有する良い量子LDPC符号を構築するという長年の未解決問題を解決すること。
• すべての既知の良い量子符号が線形重みの安定化子を有するという従来の制限を克服すること。
• ホモロジー代数と確率的複体を用いた新しい構成法を開発し、より優れた符号パラメータを達成すること。
• ホモロジー的積が、実用的な距離特性を有する小規模で低重み安定化子符号を生成できることを示すこと。
• 任意の $\alpha > 0$ に対して安定化子重み $O(n^\alpha)$ を達成できるように一般化できると予想すること。

提案手法

• 本稿は、代数的位相幾何学的手法を用いて符号構造を定義する、2つのランダムなチェイン複体のホモロジー的積を通じて量子符号を構築する。
• 良い古典符号の確率的構成を用い、積複体のホモロジーを分析するために Künneth 公式を適用する。
• 符号は $\mathbb{F}_4$-線形符号から導かれる境界作用素 $\partial = \delta_1 \otimes I + I \otimes \delta_2$ を用いて定義される。
• 確率的カウントによる削減巡回の数と一様な低重み事象を用いて、得られた符号の距離を評価する。
• 証明は、ホモロジー内に低重み巡回がない確率が非ゼロであることを示すことに依拠し、良い符号の存在を示す。
• 距離と安定化子重みを確認するために、小規模な符号（例：$[[25,1,5]]$ は $[[5,1,3]]$ 符号から得られる）に対して数値的検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数符号化レートと線形距離を有し、かつ低重み安定化子を保つような量子LDPC符号の族を構築できるか？
• RQ2 ホモロジー的積構成は、従来の量子LDPC符号に内在する $O(\sqrt{n})$ 距離の障壁を克服できるか？
• RQ3 確率的符号構成と位相的積操作の組み合わせにより、証明可能な良いパラメータを有する符号が得られるか？
• RQ4 ホモロジー的積を用いて、低重み安定化子と高い距離を有する小規模で実用的な量子符号を生成できるか？
• RQ5 この構成法を任意の $\alpha > 0$ に対して、安定化子重み $O(n^\alpha)$ を達成できるように一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、定数符号化レートと線形距離を有する最初の良い量子LDPC符号の族を構築し、$d = \Omega(n)$ を達成した。
• 安定化子は $O(\sqrt{n})$ 個の量子ビットに作用し、従来の線形重み安定化子を有する符号と比べて顕著な改善を示した。
• 2つのランダム複体のホモロジー的積は、削減巡回に関する確率的評価を用いて、高距離符号を生成する。
• 数値的結果により、2つの $[[5,1,3]]$ 符号の積が、安定化子重みが8以下である $[[25,1,5]]$ 符号を生成することが確認された。
• $[[7,1,3]]$ と $[[5,1,3]]$ 符号の積は、$d \leq 6$ を満たす $[[35,1,d]]$ 符号を生成し、小規模な符号においてこの手法の実現可能性を示した。
• 著者らは、この手法が任意の $\alpha > 0$ に対して、安定化子重み $O(n^\alpha)$ を達成できるように拡張可能であると予想している。