[論文レビュー] Homologically optimal categories of sequences lead to N-complexes

Djalal Mirmohades|arXiv (Cornell University)|May 15, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーベル圏上の $\mathbb{Z}$-インデックス付き系列に対して、整数 $a$ および $b$ をパrameterとする一般化されたホモロジー関手を導入し、$N = a + b$ である $N$-複体の族が、ホモロジカルに最適な部分圏であることを示している。この部分圏は射影的分解を支持し、このホモロジーに関して任意のより大きな圏よりも同値な導来圏を誘導する。この場合、ホモロジーはカプランォフの $\ker d^a / \operatorname{im} d^b$ に簡約される。

ABSTRACT

We study the category of $\mathbb{Z}$-indexed sequences over an abelian category and certain generalized homology functors for this category of sequences which are indexed by positive integers $a$ and $b$. By looking at the corresponding derived category, we show that there is an "optimal" subcategory of sequences for every choice of our generalized homology functors, namely, the category of $N$-complexes (sequences for which the differential $d$ satisfies $d^N = 0$) where $N = a + b$. In this optimal case we show that our homology functors reduce to Kapranov's homology functors $\operatorname{ker} d^a / \operatorname{im} d^b$.

研究の動機と目的

• アーベル圏上の系列のうち、一般化されたホモロジー関手 $\mathrm{H}^{(a,b)} = \ker d^a / \operatorname{im} d^b$ に関して射影的分解を支持する最小の部分圏を同定すること。
• 導来圏 $\mathrm{D}_\mathrm{H}(\mathcal{B})$ が射影的対象を十分に備える性質を有するための条件を同定すること。
• $N = a + b$ である $N$-複体の族 $\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ が、導来圏同値性の意味で最適であることを確立すること。
• 一般化されたホモロジーの制限として、カプランォフのホモロジー $\ker d^a / \operatorname{im} d^b$ が自然に得られることを示すこと。

提案手法

• 差分 $d$ を持つ $\mathbb{Z}$-インデックス付き系列の族 $\mathrm{Seq}(\mathcal{A})$ を定義し、$N$-複体では $d^N = 0$ を満たすものとする。
• 正の整数 $a, b$ に対して、一般化されたホモロジー関手 $\mathrm{H}^{(a,b)} = \ker d^a / \left(\ker d^a \cap \operatorname{im} d^b\right)$ を導入する。
• $N$-複体から複体への関手 $\mathrm{R}_N$ を構成し、一般化されたホモロジーに関して準同型を保つようにする。
• $\mathcal{B}$ が $\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ を含む任意の圏であるとき、$\mathrm{D}_\mathrm{H}(\mathcal{B})$ と $\mathrm{D}_\mathrm{H}(\mathrm{Com}_N(\mathcal{A}))$ が同値であることを証明する。
• $N$-複体では $d^N = 0$ であることから $\operatorname{im} d^b \subset \ker d^a$ が成り立つことを利用して、$\mathrm{H}^{(a,b)}$ をカプランォフのホモロジーに簡約する。
• $\mathrm{R}_N$ を用いて古典的射影的分解を上げることで、$\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ 内で $\mathrm{H}^{(a,b)}$-射影的分解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル圏上の系列のうち、一般化されたホモロジー $\mathrm{H}^{(a,b)}$ に関して射影的分解を支持する最小の部分圏は何か？
• RQ2 部分圏 $\mathcal{B}$ の導来圏 $\mathrm{D}_\mathrm{H}(\mathcal{B})$ が射影的対象を十分に備えるための条件は何か？
• RQ3 $N = a + b$ である $\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ が導来圏同値性の意味で最適である理由は何か？
• RQ4 一般化されたホモロジー $\mathrm{H}^{(a,b)}$ が $N$-複体の設定において、なぜカプランォフのホモロジー $\ker d^a / \operatorname{im} d^b$ に簡約されるのか？
• RQ5 非射影的対象 $X \in \mathcal{A}$ が $\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ 内で $\mathrm{H}^{(a,b)}$-射影的分解をもつ最小の $N$ は何か？

主な発見

• $\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$（$N = a + b$）はホモロジカルに最適である：任意のそれより大きな圏 $\mathcal{B}$ に対しても、$\mathrm{D}_\mathrm{H}(\mathcal{B})$ は $\mathrm{D}_\mathrm{H}(\mathrm{Com}_N(\mathcal{A}))$ と同値である。
• 一般化されたホモロジー $\mathrm{H}^{(a,b)}$ は、$d^N = 0$ であることから $\operatorname{im} d^b \subset \ker d^a$ が成り立つため、$\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ においてカプランォフのホモロジー $\ker d^a / \operatorname{im} d^b$ に簡約される。
• $\mathcal{A}$ が十分な射影的対象を持つならば、$\mathcal{A}$ の任意の対象は、$\mathrm{R}_N$ を用いて古典的分解に引き上げることで、$\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ 内で $\mathrm{H}^{(a,b)}$-射影的分解をもつ。
• 非射影的対象 $X \in \mathcal{A}$ に対して、$\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ 内の $\mathrm{H}^{(a,b)}$-射影的分解は $\mathrm{Com}_{N-1}(\mathcal{A})$ に属することができない。これにより、$N = a + b$ が最小であることが示される。
• $\mathrm{R}_N$ は準同型を保つ：$\mathrm{Com}_2(\mathcal{A})$ 内の通常の準同型は、$\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ 内で $\mathrm{H}^{(a,b)}$-準同型に写される。
• $\mathrm{Com}_N(\mathcal{A})$ の導来圏は、与えられた一般化されたホモロジーに関して、導来同値性の意味で最小かつ最大の圏である。