[論文レビュー] Homology of subgroups of right-angled Artin groups

Graham Denham|ArXiv.org|Dec 24, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、右側アーティン群の座標部分群 $N_{\rho}$ の整数ホモロジーを $\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^m]$-加群として、外積スターリング＝ライスナー環と組合せ的可換代数を用いて計算する。主な結果として、多項式環 $S$ 上のホモロジーとExt加群の双対性同型を確立し、コhen-Macaulayなクライク複体に対して、$H_q(\mathcal{Z}_K(S^1), \mathbb{k}[\mathbb{Z}^m]) \cong \mathrm{Ext}^{d+1-q}_S(F_K, R)$ が成り立ち、コhomologyは次数 $d+1$ の外側で消えることを示す。

ABSTRACT

We describe the (co)homology of a certain family of normal subgroups of right-angled Artin groups that contain the commutator subgroup, as modules over the quotient group. We do so in terms of (skew) commutative algebra of squarefree monomial ideals.

研究の動機と目的

• 右側アーティン群の正規部分群 $N_{\rho}$ のホモロジーを $\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^m]$-加群として記述すること。
• これらの部分群のコhomologyを、組合せ的可換代数を通じてクライク複体 $K_\Gamma$ の単体的位相と関連付けること。
• クライク複体 $K_\Gamma$ がコhen-Macaulayである場合、ホモロジーとExt加群の間の双対性同型を確立すること。
• 外積スターリング＝ライスナー環を用いて、各ホモロジー加群 $H_p(N_{\rho}, \mathbb{Z})$ のクルル次元を計算すること。

提案手法

• 右側アーティン群 $G_\Gamma$ の分類空間をモデル化するため、部分積複体 $\mathcal{Z}_K(S^1)$ を用いる。ここで $K$ は $\Gamma$ のクライク複体である。
• 座標部分群 $N_{\rho}$ のホモロジーを、普遍アーベル被覆 $\mathcal{Z}_K(S^1) \times_{\mathbb{Z}^n} \mathbb{Z}^m$ のホモロジーとして表現する。
• 群環 $\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^m]$ を外代数 $E$ の商としてモデル化し、コホモロジーをコシュール複体を用いて計算する。
• ベルンシュタイン＝ゲルファンド＝ゲルファンド双対性を適用し、$H_q(\mathcal{Z}_K(S^1), \mathbb{k}[\mathbb{Z}^m])$ を $\mathrm{Ext}^{d+1-q}_S(F_K, R)$ に関連付ける。ここで $F_K$ はカルタン複体加群である。
• イーガン–ライナーの定理を用いて、$K$ のコhen-Macaulay性と双対スターリング＝ライスナーイデアル $I_{K^\star}$ の線形分解との関係を結ぶ。
• クンネッヒの定理と $m$ に関する帰納法を用い、ベストヴィナ＝ブレイドの状況から一般化して、任意の座標準同型に結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右側アーティン群の座標部分群 $N_{\rho}$ のホモロジーは、$\mathbb{Z}[\mathbb{Z}^m]$-加群としてどのように記述できるか？
• RQ2 $N_{\rho}$ のコホモロジーとクライク複体 $K_\Gamma$ の単体的位相との関係は何か？
• RQ3 コホモロジー $H^q(G_\Gamma, \mathbb{k}[G_\Gamma^{ab}])$ が単一の次数以外で消える条件は何か？
• RQ4 クライク複体 $K_\Gamma$ のコhen-Macaulay性は、$N_{\rho}$ のホモロジー構造にどのように影響するか？
• RQ5 ホモロジーは、多項式環 $S$ 上のExtとTor函子を含む双対性同型を介して計算可能か？

主な発見

• 次元 $d$ のコhen-Macaulay複体 $K$ に対して、コホモロジー $H^q(G_\Gamma, \mathbb{k}[G_\Gamma^{ab}])$ は $q \leq m - n + d$ および $q > d + 1$ で消え、非ゼロのコホモロジーは唯一 $d+1$ 次数に存在する。
• クライク複体 $K$ が次元 $d$ のコhen-Macaulay複体であるとき、$H_q(\mathcal{Z}_K(S^1), \mathbb{k}[\mathbb{Z}^m])$ は $S$-加群として $\mathrm{Ext}^{d+1-q}_S(F_K, R)$ に同型である。
• コンパクト台付きコホモロジー $H^q_c(\mathcal{Z}_K(S^1), \mathbb{k}[\mathbb{Z}^m])$ は $\mathrm{Tor}^{S}_{d+1-q}(F_K, R)$ に同型であり、双対的記述が得られる。
• 各加群 $H_p(N_{\rho}, \mathbb{Z})$ のクルール次元は、クライク複体 $K_\Gamma$ の外積スターリング＝ライスナー環を用いて計算可能である。
• $K$ がホモロジー球面（Gorenstein*）であるとき、$F_K \cong I_{K^\star}$ が成り立ち、双対性同型が単純化される。
• この結果は、ベストヴィナ＝ブレイド群の有限次元性基準を回復・拡張し、$H^q(\mathcal{Z}_K(S^1), \mathbb{k}[\mathbb{Z}])$ が有限次元であるための必要十分条件が $\widetilde{H}^{q-1}(K, \mathbb{k}) = 0$ であること、すなわち $K$ の $(q-1)$ 次ホモロジー群がゼロであることであることを示している。