[論文レビュー] Homology of torus spaces with acyclic proper faces of the orbit space

Anton Ayzenberg|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、軌道空間の部分的面がすべて非巡回的であるトーラス多様体に対して、ホモロジー的スペクトル系列を構築し、自由作用の部分がねじれがない場合、そのすべての系列が軌道空間のホモロジーおよび組合せ論によって記述可能であることを示している。主な結果は、このような多様体のホモロジーの完全な加法的記述であり、ベッチ数および面環を線形パラメータ系で割った商から多様体のコホモロジー環への自然な写像の核についての明示的公式が含まれる。

ABSTRACT

Let $X$ be 2n-dimensional compact manifold with a locally standard action of a compact torus. The orbit space $X/T$ is a manifold with corners. Suppose that all proper faces of $X/T$ are acyclic. In the paper we study the homological spectral sequence $E^*_{*,*}\Rightarrow H_*(X)$ corresponding to the filtration of $X$ by orbit types. When the free part of the action is not twisted, we describe the whole spectral sequence in terms of homology and combinatorial structure of $X/T$. In this case we describe the kernel and the cokernel of the natural map $k[X/T]/(l.s.o.p.) o H_*(X)$, where $k[X/T]$ is a face ring of $X/T$ and $(l.s.o.p.)$ is the ideal generated by a linear system of parameters (this ideal appears as the image of $H^{>0}(BT)$ in equivariant cohomology. There exists a natural double grading on $H_*(X)$, which satisfies bigraded Poincare duality. This general theory is applied to compute homology groups of origami toric manifolds with acyclic proper faces of the orbit space. A number of natural generalizations is considered. These include Buchsbaum simplicial complexes and posets. h'- and h''-numbers of simplicial posets appear as the ranks of certain terms in the spectral sequence $E^*_{*,*}$. In particular, using topological argument we show that Buchsbaum posets have nonnegative h''-vectors. The proofs of this paper rely on the theory of cellular sheaves. We associate to a torus space certain sheaves and cosheaves on the underlying simplicial poset, and observe an interesting duality between these objects. This duality seems to be a version of Poincare-Verdier duality between cellular sheaves and cosheaves.

研究の動機と目的

• 軌道空間の部分的面がすべて非巡回的であるトーラス多様体のホモロジーを、軌道空間の位相および組合せ論の観点から記述すること。
• 主トーラスバンドルが自明である場合に特に、軌道型フィルトレーションに関連するスペクトル系列の構造を特定すること。
• 面環を線形パラメータ系で割った商から多様体のコホモロジー環への自然な写像の核および余核を特徴づけること。
• 基礎となる単体的順序集合上での細胞的層と余層の双対性を確立し、位相的双対性を組合せ的不変量と結びつけること。
• 理論を応用して、折りたたみトーリック多様体のホモロジーを計算し、バックスバウム順序集合に対する $h''$-ベクトルの非負性を証明すること。

提案手法

• 軌道型フィルトレーションを用いて、トーラス空間 $X$ のホモロジーに収束するスペクトル系列 ${{}^{X}}\negmedspace E^{r}_{*,*} \Rightarrow H_*(X)$ を構成すること。
• 主バンドルが自明である場合に、$Y = Q \times T^n$ とおくことで、${{}^{X}}\negmedspace E^{2}_{*,*}$ を ${{}^{Y}}\negmedspace E^{2}_{*,*}$ に還元すること。
• 軌道空間の双対単体的順序集合上に細胞的層および余層理論を適用し、ピオンカレ–ベルデュ型双対性を確立すること。
• 単体的順序集合の面ベクトルおよび $h'$-および $h''$-数を用いて、スペクトル系列の項のランクを計算すること。
• 等化的サイクルおよび線形パラメータ系からの関係を用いて、写像 $\Bbbk[S]/\Theta \to H^*(X)$ の核を明示的に記述すること。
• $Q$ 上の主 $T^n$-バンドルを用いた標準的モデル構成により、一般問題を自明バンドルの場合に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道空間自体が非巡回的でない場合でも、すべての部分的面が非巡回的であると仮定したとき、トーラス多様体のホモロジーはどのように記述できるか？
• RQ2 主トーラスバンドルが自明である場合、軌道型フィルトレーションに関連するスペクトル系列 ${{}^{X}}\negmedspace E^{r}_{*,*}$ の構造はどのようなものか？
• RQ3 軌道空間の双対単体的順序集合の $h'$-および $h''$-数は、トーラス多様体のホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 自然な写像 $\Bbbk[S]/\Theta \to H^*(X)$ の核は何か？ そして、等化的サイクルの観点からどのように記述できるか？
• RQ5 細胞的層と余層の双対性は、バックスバウム順序集合に対する $h''$-ベクトルの非負性を証明するために利用可能か？

主な発見

• 主バンドルが自明である場合、スペクトル系列 ${{}^{X}}\negmedspace E^{r}_{*,*}$ は、軌道空間 $Q$ のホモロジーおよび組合せ論によって完全に決定される。
• 多様体 $X$ のベッチ数は特徴写像に依存せず、$Q$ の組合せ論および $b_1 = \dim H^1(Q)$ のみに依存する。
• $q \neq n-2$ のとき、${{}^{X}}\negmedspace E^{\infty}_{q,q}$ の次元は $h'_{n-q}$ であり、$\dim {{}^{X}}\nolimits^{\infty}_{n-2,n-2} = h'_2 - \binom{n}{2}b_1$ である。
• $\dim H_{1,0}(X) = \dim H_{n,n-1}(X) = b_1$ および $\dim H_{n,n-2}(X) = n b_1$ は明示的に計算されている。
• $\Bbbk[S]/\Theta \to H^*(X)$ の核は、度数4でのみ非自明であり、その生成子は関係 $L'_{\beta,A}$ を通じて記述される。
• バックスバウム順序集合の $h''$-ベクトルは非負であり、位相的双対性およびスペクトル系列解析を用いて証明された。