[論文レビュー] Homomorphism counts in robustly sparse graphs

Chun‐Hung Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 70被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、強固にスパースなグラフにおける準同型数の一般定理を確立し、有界拡張性をもつ遺伝的グラフクラスにおいて、弱い条件下でも、固定されたグラフ $H$ からの準同型数が、定数因子を除いて単純な下界によってきわめてよく近似されることを証明している。この結果により、このようなクラスにおける準同型、部分グラフ、および誘導部分グラフの数の漸近的成長率が特定され、特に、どこでも密集しないクラスにおける正確な対数密度と、$d$-非退化グラフにおける最大部分グラフ数が得られる。

ABSTRACT

For a fixed graph $H$ and for arbitrarily large host graphs $G$, the number of homomorphisms from $H$ to $G$ and the number of subgraphs isomorphic to $H$ contained in $G$ have been extensively studied in extremal graph theory and graph limits theory when the host graphs are allowed to be dense. This paper addresses the case when the host graphs are robustly sparse and proves a general theorem that solves a number of open questions proposed since 1990s and strengthens a number of results in the literature. We prove that for any graph $H$ and any set ${\mathcal H}$ of homomorphisms from $H$ to members of a hereditary class ${\mathcal G}$ of graphs, if ${\mathcal H}$ satisfies a natural and mild condition, and contracting disjoint subgraphs of radius $O(\lvert V(H) vert)$ in members of ${\mathcal G}$ cannot create a graph with large edge-density, then an obvious lower bound for the size of ${\mathcal H}$ gives a good estimation for the size of ${\mathcal H}$. This result determines the maximum number of $H$-homomorphisms, the maximum number of $H$-subgraphs, and the maximum number $H$-induced subgraphs in graphs in any hereditary class with bounded expansion up to a constant factor; it also determines the exact value of the asymptotic logarithmic density for $H$-homomorphisms, $H$-subgraphs and $H$-induced subgraphs in graphs in any hereditary nowhere dense class. Hereditary classes with bounded expansion include (topological) minor-closed families and many classes of graphs with certain geometric properties; nowhere dense classes are the most general sparse classes in sparsity theory. Our machinery also allows us to determine the maximum number of $H$-subgraphs in the class of all $d$-degenerate graphs with any fixed $d$.

研究の動機と目的

• 1990年代以降長年にわたり未解決であった、スパースグラフクラスにおける準同型および部分グラフ数に関する長年の未解決問題を解消すること。
• 遺伝的クラスに有界拡張性を持つ場合の、スパースグラフ $G$ における準同型密度 ${\rm hom}(H,G)/|V(G)|^k$ の正しい正規化指数 $k$ を特定すること。
• 遺伝的クラスに有界拡張性を持つ場合およびどこでも密集しないクラスにおける、$H$-準同型、$H$-部分グラフ、$H$-誘導部分グラフの最大数を特徴づけること。
• $d$-非退化グラフおよび幾何的グラフクラス（例：$\mathbb{R}^d$ 内の $k$-プレーン近接系の交差グラフ）へ理論を拡張すること。

提案手法

• 固定グラフ $H$ から遺伝的クラス $\mathcal{G}$ のグラフへの準同型集合に対して、半径 $O(|V(H)|)$ の互いに素な部分グラフを縮約しても高い辺密度が生じないという条件を導入する。
• 構造的スパース性と数え上げ行動の関係を特徴づけるために、強く部分線形なバランスの取れた分離集合の概念を用いる。
• グラフのマイナー理論および分離定理（Alon, Seymour, Thomas や Dvořák, Norin の有界拡張性および部分線形分離に関する結果）を応用する。
• フラグ代数風の推論と漸近的解析を用いて、定数因子を除いた準同型数および部分グラフ数のタイトな境界を導出する。
• 問題を $H$ 内の $\mathcal{G}$-重複可能独立分離集合の分析に還元し、これが漸近的成長における指数 $k$ を決定する。
• この道具立てを用いて、どこでも密集しないクラスにおける準同型および部分グラフの正確な漸近的対数密度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化指数 $k$ として、スパースグラフ $G$ が遺伝的クラスに属する場合に ${\rm hom}(H,G)/|V(G)|^k$ が意味を持ち、消えないようにするには、どの $k$ が適切か？
• RQ2 スパースグラフクラスにおける $H$-部分グラフおよび $H$-準同型の数を、定数因子を除いて漸近的にどのように評価できるか？
• RQ3 どこでも密集しないグラフクラスにおける $H$-準同型および $H$-部分グラフの正確な漸近的対数密度は何か？
• RQ4 $d$-非退化グラフにおける $H$-部分グラフの最大数を定数因子を除いて特定できるか？
• RQ5 グラフ $H$ のどの構造的性質が、スパースグラフクラスにおける準同型数の成長率を決定するか？

主な発見

• 任意の固定グラフ $H$ および有界拡張性をもつ遺伝的クラス $\mathcal{G}$ に対して、$\mathcal{G}$ に属する $n$ 頂点グラフにおける $H$-準同型数は $\Theta(n^k)$ である。ここで $k$ は、$H$ の $\mathcal{G}$-重複可能独立分離集合の最大サイズによって決定される。
• どこでも密集しないクラスにおける $H$-準同型、$H$-部分グラフ、$H$-誘導部分グラフの漸近的対数密度は正確に特定されている。
• $d$-非退化グラフにおける $H$-部分グラフの最大数は $\Theta(n^k)$ であり、$k$ は有界拡張性クラスと同一の分離に基づくパラメータで与えられる。
• この結果は、すべての有界拡張性をもつ遺伝的クラスに適用可能であり、マイナー閉じた族、トポロジカルマイナー閉じた族、および $\mathbb{R}^d$ 内の $k$-プレーン近接系の交差グラフを含む。
• この理論は、スパースグラフにおける準同型および部分グラフ密度の一般正規化フレームワークを提供し、スパース設定におけるグラフ極限理論の主要な問題を解決する。
• 定数因子の最適化は行われていないが、$\Theta$-境界における漸近的成長率は定数因子を除いて正確に特定されている。