[論文レビュー] Homotopically discrete higher categorical structures

Simona Paoli|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、0-型の高次カテゴリカルモデルとして、ホモトピー的に離散的な $n$-重カテゴリーを導入し、二つの同等の記述を提供する：1つは繰り返しナースを用いたSegal型モデルであり、もう1つは繰り返し内部同値関係によるものである。主な貢献は、これら二つの記述が圏論的に同型であることを証明し、弱くグロブラーな高次カテゴリーの基礎的モデルを確立することである。

ABSTRACT

We introduce the notion of homotopically discrete n-fold category as an n-fold generalization of a groupoid with no non-trivial loops. We give two equivalent descriptions of this structure: in terms of a Segal-type model and in terms of iterated internal equivalence relations. We also show that homotopically discrete n-fold categories form an n-fold categorical model of 0-types.

研究の動機と目的

• 非自明なループをもたない群コホモロジーの高次カテゴリカル一般化として、ホモトピー的に離散的な $n$-重カテゴリーを定義し特徴づけること。
• 二つの同等の記述を確立すること：1つは繰り返しナースを用いたSegal型モデルに基づくものであり、もう1つは繰り返し内部同値関係によるものである。
• これらの構造がホモトピー論における0-型をモデル化することを示し、高次次元における離散集合の一般化を達成すること。
• 弱くグロブラーな $n$-重カテゴリーのための圏論的基盤を提供することにより、弱い高次カテゴリーの新しいモデルを可能にすること。

提案手法

• 定義は帰納的に構成される：ホモトピー的に離散的な $n$-重カテゴリーは、ホモトピー的に離散的な $(n-1)$-重カテゴリーのなす単体的対象である。
• Segal型モデルは、ナース関手 $J_n: \text{Cat}_{\text{hd}}^n \to [\triangle^{n-1^{\text{op}}}, \text{Cat}]$ を用いて構築され、これはレベルごとに同値関係を与える。
• 第二の記述は、$n$-重カテゴリーの圏における繰り返し内部同値関係を用いるもので、$\mathsf{EqRel}^n$ と表記され、各レベルが同値関係である。
• $n$-同値は、全単射かつ本質的に全射なファンクターの高次元一般化であり、離散モデルの同型による特徴づけがなされる。
• 二つの記述の同型性の証明は、$n$ に関する帰納法に依拠し、$X \in \text{Cat}_{\text{hd}}^n$ のとき $p^{(n)}X$ と $X_s$ が $\text{Cat}_{\text{hd}}^{n-1}$ に属すること、および $f_{\underline{s}}$ が全射であることを利用している。
• 同型 $\mathsf{EqRel}^n \cong \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$ は、任意の $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$ が $X = (\xi_n X)_0[f_{n}X]$ と表され $f_{n}X$ が全射であること、およびその逆も成り立つことから示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー的に離散な構造の概念を群コホモロジーから $n$-重カテゴリーへどのように一般化できるか？
• RQ2 ホモトピー的に離散な $n$-重カテゴリーの二つの同等の記述とは何か、それらはどのように関係しているか？
• RQ3 ホモトピー的に離散な $n$-重カテゴリーは、高次カテゴリー理論における0-型のモデルとして機能できるか？
• RQ4 この構造は、その後続の研究において弱くグロブラーな $n$-重カテゴリーの構成をどのように支援するか？

主な発見

• ホモトピー的に離散な $n$-重カテゴリーが、繰り返し内部同値関係によって構成される $n$-重カテゴリーと同等であることが示され、$\mathsf{EqRel}^n \cong \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$ が確立された。
• 任意のホモトピー的に離散な $n$-重カテゴリー $X$ は、離散 $n$-重カテゴリー $X^d$ に対して、離散化写像 $d: X \to X^d$ による $n$-同値であることが示され、高次元においてホモトピー的に自明であることがわかった。
• ナース関手 $J_n$ は、$X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$ をレベルごとに同値関係を与えるものに写し、Segal型モデル構造が確認された。
• $X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$ に対して誘導されるSegal写像は $(n-1)$-同値であることが確認され、高次カテゴリー論的意味でのSegal条件が成立した。
• この構造は $p^{(n)}$-構成に対して閉じている：$X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^n$ のとき $p^{(n)}X \in \mathsf{Cat}_{\text{hd}}^{n-1}$ であるため、次元間の整合性が保たれた。
• 離散モデルの同型による $n$-同値の特徴づけは、この圏における同値性の実用的基準を提供した。