[論文レビュー] Homotopy theory of higher categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 141被引用数 77

ひとこと要約

本稿では、反復的Segal法を用いて高次圏のホモトピー論的枠組みを構築し、任意の扱いやすい左適切なカルテジアンモデル圏Mに対して、M-前圏上の取り扱いやすく、左適切でカルテジアンなモデル構造を構成する。主な貢献は、この手法を反復的に応用することで(∞,n)-圏のモデル圏を体系的に構成し、高次圏論の基礎的ツールを提供することにある。

ABSTRACT

This is the first draft of a book about higher categories approached by iterating Segal's method, as in Tamsamani's definition of $n$-nerve and Pelissier's thesis. If $M$ is a tractable left proper cartesian model category, we construct a tractable left proper cartesian model structure on the category of $M$-precategories. The procedure can then be iterated, leading to model categories of $(\\infty, n)$-categories.

研究の動機と目的

• 反復的Segal法の応用を体系的に行い、高次圏のホモトピー論的枠組みを確立すること。
• 取り扱いやすい左適切なカルテジアンモデル圏MにおけるM-前圏の定義と研究を行うこと。
• M-前圏の圏に取り扱いやすく、左適切でカルテジアンなモデル構造を構築すること。
• この構成を反復的に一般化し、(∞,n)-圏のモデル圏を獲得すること。
• 高度なホモトピー代数に適した一貫性のある、高次圏論の基礎的モデルを提供すること。

提案手法

• 単体的対象を用いたSegal法の反復的適用により、高次的圏的構造を定義すること。
• Tamsamaniのn-神経とPelissierの学位論文を、反復的構成の基礎的参照として用いること。
• M-前圏を、Segal型の条件を満たすM内の単体的対象として定義すること。
• M-前圏の圏に取り扱いやすく、左適切でカルテジアンなモデル構造を確立すること。
• このモデル構造が、レベル間をまたがる反復的プロセスと整合することを検証すること。
• この構成を拡張し、n重反復によって(∞,n)-圏のモデル圏を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Segal法をどのように体系的に反復応用することで高次圏をモデル化できるか？
• RQ2 モデル圏Mにどのような条件を課すと、M-前圏上の適切に振る舞うモデル構造が存在するか？
• RQ3 M-前圏の圏に取り扱いやすく、左適切でカルテジアンなモデル構造を構築できるか？
• RQ4 この構成の反復的適用がどのように(∞,n)-圏のモデル圏を生じさせるか？
• RQ5 反復プロセスを通じてどのような性質が保たれ、高次圏論的枠組みの一貫性が確保されるか？

主な発見

• 任意の取り扱いやすい左適切なカルテジアンモデル圏Mに対して、M-前圏の圏に取り扱いやすく、左適切でカルテジアンなモデル構造が構成された。
• この構成は反復的であり、この手法をn回反復適用することで(∞,n)-圏のモデル圏を定義可能である。
• この枠組みはTamsamaniのn-神経を一般化し、Pelissierの学位論文に基づいて一貫性のある高次圏的モデルを提供する。
• 得られたモデル圏はホモトピー代数に適しており、(∞,n)-圏を研究するための基礎を提供する。
• この手法により、左適切性や取り扱いやすさといった重要なホモトピー的性質が、反復の各段階で保たれることが保証される。
• モデル理論的技法を用いた、高次圏論への体系的で構造的なアプローチを提供する。