[論文レビュー] Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories

Vladimir Turaev|arXiv (Cornell University)|May 31, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 152

ひとこと要約

本稿は、K(π,1) をターゲット空間とする3次元ホモトピー量子場理論（HQFT）を生み出す代数的構造として、モジュラー交叉πカテゴリを導入する。バーティカルおよびリボンカテゴリを群に係数付けされた設定に一般化することで、K(π,1) へのホモトピー類の写像を備えた3次元多様体の不変量を構成し、クェーシートリエンギュラー交叉ホップπ代数および状態和構成法を用いて、π多様体への量子不変量の拡張を実現する。

ABSTRACT

A 3-dimensional homotopy quantum field theory (HQFT) can be described as a TQFT for surfaces and 3-cobordisms endowed with homotopy classes of maps into a given space. For a group $π$, we introduce a notion of a modular crossed $π$-category and show that such a category gives rise to a 3-dimensional HQFT with target space $K(π,1)$. This includes numerical invariants of 3-dimensional $π$-manifolds and a 2-dimensional homotopy modular functor. We also introduce and discuss a parallel notion of a quasitriangular crossed Hopf $π$-coalgebra.

研究の動機と目的

• K(π,1) をターゲット空間とする3次元ホモトピー量子場理論（HQFT）を構築するための体系的な代数的枠組みを開発すること。
• モジュラーテンソルカテゴリを群に係数付けされた構造へ一般化する—交差πカテゴリ—を用いて、π構造を備えた3次元多様体の不変量を可能とすること。
• モジュラー交差πカテゴリと3次元HQFTの間の対応関係を確立し、既知のTQFT構成法をホモトピー的設定へ拡張すること。
• クェーシートリエンギュラーホップπ代数および群の準アーベルコhomologyといった代数的源から、このようなカテゴリを探索すること。
• 3次元π多様体の不変量のための状態和構成法を提案し、それを手術法およびシャドウ法と関連付けること。

提案手法

• 群πによる係数付けと整合性のある作用およびブレーディングを備えたモノイダル圏としての交差πカテゴリの概念を導入する。
• 交差πカテゴリにおけるブレーディング、リボン、モジュラー構造を定義し、モジュラーテンソルカテゴリにおける標準的構成を一般化する。
• 交差πカテゴリへのファンクターを用いて、R³ 内のπ彩色トゥーグルおよびグラフの不変量を構成し、射値不変量をもたらす。
• カテゴリ内の対象におけるトレース関数および次元関数を定義し、モジュラーデータおよび不変量を定義するために不可欠な役割を果たす。
• モジュラー交差πカテゴリを用いて3次元HQFTを確立し、π多様体にK-加群を割り当て、πコボルディズムに不変量を割り当てる。
• 付録2で、三角形分割とカテゴリからの代数的データを用いて、3次元π多様体の不変量のための状態和構成法を開発する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラーテンソルカテゴリは、非自明なターゲット空間を持つ3次元HQFTを記述するために、群に係数付けされた設定へどのように一般化可能か？
• RQ2 3次元π多様体（K(π,1) へのホモトピー類の写像を備えた3次元多様体）の不変量を生み出す代数的構造として、どのような構造が存在するか？
• RQ3 クェーシートリエンギュラーホップπ代数を用いて、モジュラー交差πカテゴリ、ひいては3次元HQFTを構成可能か？
• RQ4 π多様体の文脈において、状態和不変量と手術に基づく不変量の関係は何か？
• RQ5 理論をスピン構造、セイバーグ＝ワッテン不変量、あるいは高次元HQFTへ拡張するにはどうすればよいか？

主な発見

• モジュラー交差πカテゴリは、ターゲット空間が K(π,1) である3次元HQFTを生じさせ、3次元π多様体に不変量を割り当て、π多様体にK-加群を割り当てる。
• この構成法は、リシェチキン＝トゥレイのTQFTを一般化する：π = 1 のとき、理論は標準的なモジュラーカテゴリ構成に還元される。
• モジュラー交差πカテゴリから、π多様体にK-加群を割り当て、πコボルディズムに相互作用写像を割り当てる2次元ホモトピー的モジュラーファンクターが導かれる。
• クェーシートリエンギュラー交差ホップπ代数は、モジュラー交差πカテゴリの出処を提供し、ドリンフェルト要素および球面的構造から例が得られる。
• 三角形分割とカテゴリからの代数的データを用いて、3次元π多様体のための状態和不変量が構成され、トゥレイ＝ヴィロの構成法を一般化する。
• 球面的交差ホップπ代数は、双対性およびトレース構造がπ係数付けと整合する、表現の球面的カテゴリをもたらす。