[論文レビュー] Homotopy field theory in dimension 2 and group-algebras

Vladimir Turaev|ArXiv.org|Oct 4, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 77

ひとこと要約

この論文は、空間 $X = K(\pi,1)$ に値をとる写像のホモトピー類を組み込むことで、トポロジカル量子場理論（TQFT）を一般化した2次元ホモトピー量子場理論（HQFT）を導入する。クロスタイプ $\pi$-代数を用いて、$(1+1)$次元HQFTを完全に分類し、特性0の体上の半コホモロジカルHQFTが半単純クロスタイプ群代数によって分類され、ヴァーリンデ型の公式を満たすことを示す。

ABSTRACT

We apply the idea of a topological quantum field theory (TQFT) to maps from manifolds into topological spaces. This leads to a notion of a (d+1)-dimensional homotopy quantum field theory (HQFT) which may be described as a TQFT for closed d-dimensional manifolds and (d+1)-dimensional cobordisms endowed with homotopy classes of maps into a given space. For a group $π$, we introduce cohomological HQFT's with target $K(π,1)$ derived from cohomology classes of $π$ and its subgroups of finite index. The main body of the paper is concerned with (1+1)-dimensional HQFT's. We classify them in terms of so called crossed group-algebras. In particular, the cohomological (1+1)-dimensional HQFT's over a field of characteristic 0 are classified by simple crossed group-algebras. We introduce two state sum models for (1+1)-dimensional HQFT's and prove that the resulting HQFT's are direct sums of rescaled cohomological HQFT's. We also discuss a version of the Verlinde formula in this setting.

研究の動機と目的

• 多様体およびコーボーディズムから固定された空間 $X$ への写像のホモトピー類を組み込むことで、トポロジカル量子場理論（TQFT）を一般化し、$(d+1)$次元ホモトピー量子場理論（HQFT）の概念を導入すること。
• $X = K(\pi,1)$ をターゲットとする $(1+1)$次元HQFTを、特にクロスタイプ $\pi$-代数を用いた代数的構造によって分類すること。
• 双角的および非退化性を満たす $\pi$-代数を用いて、$(1+1)$次元HQFTの状態和モデルを構成し、ホモトピー不変性およびコホモロジカルHQFTとの関係を証明すること。
• 半コホモロジカル $(1+1)$次元HQFTに対してヴァーリンデ型の公式を確立し、代数的に閉じた特性0の体上では、すべての such HQFT が半コホモロジカルであることを示すこと。

提案手法

• $(d+1)$次元HQFTを、多様体およびコーボーディズムから固定された空間 $X$ への写像のホモトピー類を備えたTQFTとして定義し、特に $(1+1)$次元の場合に $X = K(\pi,1)$ が中心的役割を果たすことを示す。
• $\pi$-代数を、群 $\pi$ によるグレーディングを持つ結合的代数 $L$ として定義し、$L_\alpha L_\beta \subset L_{\alpha\beta}$ を満たすものとし、群作用および内積との追加の整合性条件を満たすクロスタイプ $\pi$-代数のクラスを導入する。
• $(1+1)$次元HQFTのための2つの状態和モデルを構成する：1つは双角的 $\pi$-代数に基づき、もう1つは非退化性を満たす $\pi$-代数に基づく。後者では、固定されたホモトピー類内でのすべての $\pi$-システムの和をとることでホモトピー不変性を保証する。
• $\pi$-代数構造に基づいて定義される $\pi$-システムの分配関数を用いて、状態和不変量を定義し、その結果として得られる割り当てが適切に定義されたHQFTを定義することを証明する。
• フロベニウス代数および群コホモロジーの理論を用いて、$H^2(\pi, K^*)$ 内の2次コホモロジー類からコホモロジカルHQFTを構成し、これがクロスタイプ $\pi$-代数に対応することを示す。
• 特性0の体上で、非退化性を満たす $\pi$-代数から得られるすべての $(1+1)$次元HQFTが半コホモロジカルであることを証明し、したがってヴァーリンデ型の公式を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル量子場理論（TQFT）を、多様体から位相空間 $X$ への写像のホモトピー類を組み込むことで、ホモトピー量子場理論（HQFT）の概念に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 ターゲット $X = K(\pi,1)$ を持つ $(1+1)$次元HQFTは、どのような代数的構造によって分類され、群コホモロジーやフロベニウス代数とどのように関係するか？
• RQ3 $\pi$-代数を用いて $(1+1)$次元HQFTの状態和モデルを構成できるか？ また、それらはホモトピー不変な不変量をもたらすか？
• RQ4 $(1+1)$次元HQFTがヴァーリンデ型の公式を満たす条件は何か？ そして、それらは基礎となるクロスタイプ $\pi$-代数の半単純性とどのように関係するか？
• RQ5 代数的に閉じた特性0の体上では、すべての $(1+1)$次元HQFTが半コホモロジカルであると仮定できるか？ そして、これはその分類にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $X = K(\pi,1)$ をターゲットとする $(1+1)$次元HQFTの同型類とクロスタイプ $\pi$-代数との間に、全単射の対応が存在し、完全な代数的分類が確立された。
• 特性0の体上の半コホモロジカル $(1+1)$次元HQFTは、半単純クロスタイプ群代数によって分類され、このようなHQFTはヴァーリンデ型の公式を満たす。
• 双角的 $\pi$-代数に基づく状態和モデルは、ホモトピー不変な分配関数をもたらし、適切に定義された $(1+1)$次元HQFTを定義する。
• 非退化性を満たす $\pi$-代数では、分配関数は一般にはホモトピー不変ではないが、固定されたホモトピー類内でのすべての $\pi$-システムの和をとることで不変性が回復され、HQFTが得られる。
• 代数的に閉じた特性0の体上では、非退化性を満たす $\pi$-代数から得られるすべての $(1+1)$次元HQFTが半コホモロジカルであることが示され、したがってヴァーリンデ公式を満たす。
• $H^2(\pi, K^*)$ 内の群コホモロジー類からクロスタイプ $\pi$-代数を構成することでコホモロジカルHQFTが得られ、$ less 1$ のときには、これは古典的な $(1+1)$次元TQFTの分類（可換フロベニウス代数によるもの）を回復する。