[論文レビュー] Homotopy groups of complements to ample divisors

Anatoly Libgober|ArXiv.org|Apr 19, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影多様体上に存在する孤立的非正則交差をもつ可約な豊富な除因子の補集合のホモトピー群を調査する。基本群の可換性に関する消滅定理を一般化し、アーベル被覆のホッジ理論を用いることで、特定の範囲において高次ホモトピー群が消えることを確立し、それらの非消滅の台集合がモチーフ的ゼータ関数および準接続多面体と関連することを示す。特に、超平面の配置において顕著である。

ABSTRACT

We study the homotopy groups of complements to reducible divisors on non-singular projective varieties with ample components and isolated non normal crossings. We prove a vanishing theorem generalizing conditions for commutativity of the fundamental groups. The calculation of supports of non vanishing homotopy groups as modules over the fundamental group in terms of the geometry of the locus of non-normal crossings is discussed. We review previous work on the local study of isolated non-normal crossings and relate the motivic zeta function to the local polytopes of quasiadjunction. As an application, we obtain information about the support loci of homotopy groups of arrangements of hyperplanes

研究の動機と目的

• 孤立的特異点の範囲を超えて、可約除因子の補集合のホモトピー群の理解を拡張すること。
• 基本群の可換性に関する消滅定理を高次ホモトピー群へ一般化すること。
• 非消滅ホモトピー群の台集合を、非正則交差部分の幾何的データを用いて基本群上の加群として特徴付けること。
• デネ＝ローゼルのモチーフ的ゼータ関数とアーベル被覆のホッジ的不変量を用いて、準接続多面体との正確な関係を特定すること。
• 例えば、ℙ³における平面のクーメル配置における補集合の第二ホモトピー群を明示的に計算すること。

提案手法

• 特定の範囲において、基本群が高次ホモトピー群に自明に作用することを証明し、これによりこれらの群のホモロジー的制御が可能になることを示す。
• ホモロジー代数とスペクトル系列を用いてホモトピー群を計算し、成分数が n+1 個より多いかつ孤立的非正則交差をもつ ℙⁿ⁺¹ における除因子に対して、2 ≤ i ≤ n−1 の範囲で消えることを確立する。
• 群環 π₁ 上での非消滅ホモトピー群の台集合として特徴的多様体を定義し、局所系統コホモロジーのジャンピング・ローカスと関連付ける。
• アーベル被覆のホッジ理論を適用し、モチーフ的ゼータ関数のホッジ実現と準接続多面体とを関連付ける。
• 特異点のリンクのアーベル被覆の不変量を、特異点の解消と等変コホモロジーを用いて計算する。
• グロテンディーク環上の生成関数としてのモチーフ的ゼータ関数を用い、ベッチ実現とホッジ実現が特徴的多様体および準接続データを決定することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立的非正則交差をもつ除因子に対して、基本群が高次ホモトピー群に自明に作用する幾何的条件は何か？
• RQ2 非消滅ホモトピー群の台集合は、π₁のキャラクター多様体の代数的部分多様体としてどのように記述できるか？
• RQ3 アーベルの場合において、モチーフ的ゼータ関数と準接続多面体との正確な関係は何か？
• RQ4 成分数が n+1 個より多いかつ孤立的非正則交差をもつ ℙⁿ⁺¹ における除因子の補集合のホモトピー群が消える範囲は何か？
• RQ5 モチーフ的ゼータ関数のホッジ実現は、アーベル被覆の第一コホモロジーにおける F¹ 濃度の次元をどのように計算できるか？

主な発見

• ℙⁿ⁺¹ に存在する孤立的非正則交差をもち、n+1 個より多くの成分をもつ除因子 D に対して、すべての i について 2 ≤ i ≤ n−1 であれば πᵢ(ℙⁿ⁺¹ − D) = 0 である。
• 指定された範囲において、基本群が高次ホモトピー群に自明に作用するため、これらの群の研究はホモロジー的不変量に帰着される。
• 最初に非自明なホモトピー群の台集合（π₁-加群として見たとき）は、局所系統コホモロジーのジャンピング・ローカスと一致する特徴的多様体である。
• モチーフ的ゼータ関数のベッチ実現は、Tᵢ → ∞ の極限を用いて、特徴的多様体 V₁ の主要成分を決定する。
• n=1 の場合、モチーフ的ゼータ関数のホッジ実現は準接続多面体を決定し、dim F¹H¹(Xₘ₁,…,ₘᵣ)ₚ ≥ 1 であることは、例外集合のホッジ実現が非ゼロ寄与を持つことと同値である。
• ℙ³ における平面のクーメル配置において、補集合の第二ホモトピー群 π₂ は非自明であり、本稿で開発された手法を用いて計算可能である。