[論文レビュー] Homotopy groups of spheres and Lipschitz homotopy groups of Heisenberg groups

Piotr Hajłasz, Armin Schikorra+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、新しいランク本質的ホモトピー群の概念を用いて、球面の古典的ホモトピー群とヒーゼンベルク群のリプシッツホモトピー群の間の関係を確立する。一般化されたホーフィンヴァリアントを用いて、すべての $ n \geq 1 $ に対して $ π_{4n-1}^{ριπ}(ℂ_{2n}) \neq \{0\} $ を証明し、$ \dim{\mathcal{M}} \geq 4n $ かつ $ 4n-1 \leq p < 4n $ のとき、$ W^{1,p}({\mathcal{M}}, \mathbb{H}_{2n}) $ においてリプシッツ写像は稠密でないことを示す。この結果により、メトリック空間上の解析における主要な密度問題が解決され、ソボレフ写像の稠密性に対する位相的障害が明らかにされた。

ABSTRACT

We provide a sufficient condition for the nontriviality of the Lipschitz homotopy group of the Heisenberg group, $π_m^{Lip}(H_n)$, in terms of properties of the classical homotopy group of the sphere, $π_m(S^n)$. As an application we provide a new simplified proof of the fact that $π_n^{Lip}(H_n) eq 0$, $n=1,2,...$, and we prove a new result that $π_{4n-1}^{Lip}(H_{2n}) eq 0$ for $n=1,2,...$ The last result is based on a new generalization of the Hopf invariant. We also prove that Lipschitz mappings are not dense in the Sobolev space $W^{1,p}(M,H_{2n})$ when $dim M\geq 4n$ and $4n-1\leq p&lt;4n$.

研究の動機と目的

• ヒーゼンベルク群のリプシッツホモトピー群の非自明性の十分条件を、古典的ホモトピー論を用いて確立すること。
• すべての $ n \geq 1 $ に対して $ \pi_n^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n) $ の非自明性を、ランク本質的ホモトピー群に基づく新しい簡略化された証明を与えること。
• 一般化されたホーフィンヴァリアントを用いて、$ \pi_{4n-1}^{\rm Lip}(\mathbb{H}_{2n}) \neq \{0\} $ を証明すること。
• $ \dim{\mathcal{M}} \geq 4n $ かつ $ 4n-1 \leq p < 4n $ のとき、$ W^{1,p}({\mathcal{M}}, \mathbb{H}_{2n}) $ においてリプシッツ写像が稠密でないことを示し、メトリック空間上の解析における主要な密度問題を解決すること。

提案手法

• 古典的ホモトピー群 $ \pi_m(\mathbb{S}^n) $ とリプシッツホモトピー群 $ \pi_m^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n) $ を結ぶために、ランク本質的ホモトピー群の概念を導入する。
• $ \mathbb{R}^{2n+1} $ に滑らかに埋め込まれるリプシッツ双同相写像 $ \phi: \mathbb{S}^n \to \mathbb{H}_n $ を用いて、球面上の位相的障害をヒーゼンベルク群へ移す。
• スケーリングされた球面上の微分形式のプッシュバックを分析することで、一般化されたホーフィンヴァリアント $ \mathcal{H}_\alpha $ を用いて $ \pi_{4n-1}^{\rm Lip}(\mathbb{H}_{2n}) $ の非自明性を検出する。
• $ f \in W^{1,p}({\mathbb{B}}^{4n}, \mathbb{H}_{2n}) $ に対するリプシッツ近似列 $ g_k $ を導入し、勾配の $ L^p $ 収束を制御するための集合 $ E_k $ を構成する。
• ファビニの定理と、切り詰めた勾配 $ \chi_{E_k} \nabla g_k $ が $ \nabla f $ に $ L^p $ で収束することを用いて、半径 $ r \in (0,1) $ の球面上での一般化されたホーフィンヴァリアントを比較する。
• $ f|_{{\mathbb{S}}^{4n-1}(r)} $ の非消えるホーフィンヴァリアントと、すべての $ k $ と $ r $ に対して $ \mathcal{H}_\alpha(g_k|_{{\mathbb{S}}^{4n-1}(r)}) = 0 $ であることに基づく矛盾を導出し、リプシッツ写像の非稠密性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \pi_m(\mathbb{S}^n) $ がどのような条件下で $ \pi_m^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n) $ が非自明になるか。
• RQ2 ランク本質的ホモトピー群に基づく新しい簡略化された方法を用いて、$ \pi_n^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n) $ の非自明性を再証明できるか。
• RQ3 一般化されたホーフィンヴァリアントは、$ \pi_{4n-1}^{\rm Lip}(\mathbb{H}_{2n}) $ の非自明性を検出できるか。
• RQ4 $ \dim{\mathcal{M}} \geq 4n $ かつ $ 4n-1 \leq p < 4n $ のとき、$ W^{1,p}({\mathcal{M}}, \mathbb{H}_{2n}) $ においてリプシッツ写像は稠密か。
• RQ5 $ L^p $ 収束する勾配と微分形式を用いた背理法により、ヒーゼンベルクをターゲットとするソボレフ空間におけるリプシッツ写像の非稠密性を確立できるか。

主な発見

• 本稿は、すべての $ n \geq 1 $ に対して $ \pi_{4n-1}^{\rm Lip}(\mathbb{H}_{2n}) \neq \{0\} $ を証明し、既知の $ \pi_n^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n) $ の非自明性を拡張する。
• 新しい一般化されたホーフィンヴァリアント $ \mathcal{H}_\alpha $ が導入され、$ \mathcal{H}_\alpha(f|_{{\mathbb{S}}^{4n-1}(r)}) \neq 0 $ がすべての $ r \in (0,1) $ に対して成り立つが、すべての $ k $ と $ r $ に対して $ \mathcal{H}_\alpha(g_k|_{{\mathbb{S}}^{4n-1}(r)}) = 0 $ であるため、矛盾が生じる。
• この矛盾は、$ \chi_{E_k} \nabla g_k \to \nabla f $ が $ L^p({\mathbb{B}}^{4n}) $ で収束することに起因し、これによりプッシュバック形式が $ L^{p/2n} $ で収束し、極限においてホーフィンヴァリアントが非ゼロであることを強制する。
• この結果により、$ \dim{\mathcal{M}} \geq 4n $ かつ $ 4n-1 \leq p < 4n $ のとき、$ W^{1,p}({\mathcal{M}}, \mathbb{H}_{2n}) $ においてリプシッツ写像は稠密でないことが示され、メトリック空間上の解析における長年の問いが解決される。
• 証明技法は、$ 4n $ 次元の断片に制限しファビニの定理を用いることで、一般の次元 $ \geq 4n $ の多様体 $ \mathcal{M} $ に対しても適用可能である。
• 著者らは、ランク本質的ホモトピー群の枠組みを用いて、$ \pi_n^{\rm Lip}(\mathbb{H}_n) \neq \{0\} $ の非自明性に対する新しい簡略化された証明を提供する。