[論文レビュー] Homotopy Lie Algebras of Gravity and their Braided Deformations

Marija Dimitrijević Ćirić, Grigorios Giotopoulos+2 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ドリンフェルトのねじれ変換を用いて非可換性を定義する非可換重力のアインシュタイン＝カルタン＝パラティーニ形式における、からませた$L_{\infty}$-代数の定式化を提案する。主な貢献は、循環的からませた$L_{\infty}$-代数を用いた、場の運動方程式、対称性、ネーターの恒等式の統一的かつコンactな記述であり、高次ホモトピー構造を通じて非可換重力における閉包問題を解決する。

ABSTRACT

We describe the cyclic $L_{\infty}$-algebra formulation of classical general relativity without matter fields in the Einstein-Cartan-Palatini formalism. Using Drinfel'd twist deformation techniques, we define a noncommutative version of the theory with braided gauge symmetries. We introduce a notion of braided $L_{\infty}$-algebra, and use it to encode the symmetries, field content, field equations and Noether identities of noncommutative gravity.

研究の動機と目的

• 非可換重力の一般化された$L_{\infty}$-代数枠組みを用いて、閉じたゲージ対称性を持つ形式を構築すること。
• 非可換重力における非可換性に起因するゲージ代数の閉包障害を解消すること。
• 非可換場の理論における力学と対称性を両方とも記述可能な、新しい数学的構造—からませた$L_{\infty}$-代数—を導入すること。
• 非可換設定におけるねじれ付き微分同相および局所ローレンツ対称性を含む、$L_{\infty}$-代数形式の拡張。
• メトリックに基づく$L_{\infty}$-手法で必要な無限級数展開を回避する、第一形式における非可換重力の体系的かつ有限括弧形式の構築。

提案手法

• ビールビン$e$とスピン接続$\omega$を基本場とする、アインシュタイン＝カルタン＝パラティーニ形式を出発点とする。
• 標準的$L_{\infty}$-代数構造にドリンフェルトのねじれ変換を適用し、代数的演算を変形するスター積$\star$を導入する。
• 変形された括弧$\ell_1^\star, \ell_2^\star, \ell_3^\star$を持つからませた$L_{\infty}$-代数を定義し、ねじれ付きの高次ホモトピー関係を満たす。
• スター積に基づく変形$L_{\infty}$-代数構造を用いて、場の運動方程式とゲージ変換を構築し、スター積の下で閉じていることを保証する。
• からませたネーターの恒等式として、単一のコンパクトな式(65)を導出し、局所ローレンツ対称性と微分同相変換の両方を統合する。
• からませたホモトピー恒等式を用いて、ネーターの恒等式がオフシェルで消えることを検証し、変形理論の整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換性に起因する標準的ゲージ対称性の閉包不成立が生じる非可換重力は、どのように一貫して定式化可能か？
• RQ2 ゲージ理論におけるねじれ付き対称性とスター積変形を扱えるように、$L_{\infty}$-代数の適切な一般化は何か？
• RQ3 非可換重力の運動方程式とネーターの恒等式は、有限でコンパクトな$L_{\infty}$-代数構造に統合可能か？
• RQ4 ドリンフェルトのねじれから生じるからませたゲージ対称性は、変形理論において局所ローレンツ対称性と微分同相不変性をどのように統合するか？
• RQ5 循環的およびからませた$L_{\infty}$-代数は、非可換場の理論におけるBV–BRST形式的において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、ドリンフェルトのねじれ変換を用いた非可換重力の定式化を成功裏に構築し、ゲージ代数の閉包を保証する。
• 標準的$L_{\infty}$-代数を一般化する、新しい数学的対象—からませた$L_{\infty}$-代数—が導入され、スター積変形を介したねじれ付き対称性を含む。
• 非可換重力の運動方程式が、からませたゲージ変換の下で共変であることが示され、からませた共変性条件は$\delta_{(\xi,\rho)}^\star F_{(e,\omega)}^\star = \ell_2^\star((\xi,\rho), F_{(e,\omega)}^\star)$として表現される。
• からませた局所ローレンツ変換および微分同相変換のネーターの恒等式が、単一のコンパクトな式(65)に統合され、からませたホモトピー恒等式によりオフシェルで消える。
• この形式は、メトリックに基づく$L_{\infty}$-手法で必要となる無限級数展開を回避する、有限括弧形式の非可換重力の構築を可能にする。
• この枠組みは、クワシーコホープ代数の一般化とからませたBV–BRST双対性を用いた、非可換性重力のさらなる探求のための整合的基盤を提供する。