[論文レビュー] Homotopy techniques for solving sparse column support determinantal polynomial systems

George Labahn, Mohab Safey El Din+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 52被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、幾何的分解と直線プログラムを活用して、スパースなカラムサポートを持つ行列式多項式系を解くホモトピーに基づくアルゴリズムを提示する。零次元パラメータ化の効率的計算が達成され、計算量は Õ(n⁴Γd) に上限が設定されており、従来の手法を、正則列が減少する構造的多項式系へと拡張している。

ABSTRACT

Let $\\mathbf{K}$ be a field of characteristic zero with $\\overline{\\mathbf{K}}$ its algebraic closure. Given a sequence of polynomials $\\mathbf{g} = (g_1, \\ldots, g_s) \\in \\mathbf{K}[x_1, \\ldots , x_n]^s$ and a polynomial matrix $\\mathbf{F} = [f_{i,j}] \\in \\mathbf{K}[x_1, \\ldots, x_n]^{p \ imes q}$, with $p \\leq q$, we are interested in determining the isolated points of $V_p(\\mathbf{F},\\mathbf{g})$, the algebraic set of points in $\\overline{\\mathbf{K}}$ at which all polynomials in $\\mathbf{g}$ and all $p$-minors of $\\mathbf{F}$ vanish, under the assumption $n = q - p + s + 1$. Such polynomial systems arise in a variety of applications including for example polynomial optimization and computational geometry. We design a randomized sparse homotopy algorithm for computing the isolated points in $V_p(\\mathbf{F},\\mathbf{g})$ which takes advantage of the determinantal structure of the system defining $V_p(\\mathbf{F}, \\mathbf{g})$. Its complexity is polynomial in the maximum number of isolated solutions to such systems sharing the same sparsity pattern and in some combinatorial quantities attached to the structure of such systems. It is the first algorithm which takes advantage both on the determinantal structure and sparsity of input polynomials. We also derive complexity bounds for the particular but important case where $\\mathbf{g}$ and the columns of $\\mathbf{F}$ satisfy weighted degree constraints. Such systems arise naturally in the computation of critical points of maps restricted to algebraic sets when both are invariant by the action of the symmetric group.

研究の動機と目的

• スパースなカラムサポートを持つ行列式多項式系を解くための効率的アルゴリズムの開発。
• 正則列が減少する構造的系へ、幾何的分解技術を拡張すること。
• 直線プログラムを活用して、多項式系のコンパクトな表現と効率的な評価を実現すること。
• このような系の零次元パラメータ化における計算量の改善を達成すること。
• 構造的スパarsityを持つ応用分野で生じる系を解く実用的手法の提供。

提案手法

• 入力系を長さ Γ の直線プログラムで表現し、すべての関連する多項式 Θρ(𝓜ⱼ) を計算する。
• Gianni, Lecerf, Salvy (2001) が提唱した幾何的分解アルゴリズムを、正則列 Θρ(𝓜ⱼ) で定義される系に適用する。
• スパースなカラムサポートの構造を活用して、解集合の零次元パラメータ化を計算する。
• 系が完全交差または空集合を定義することを検証することで、正しさを保証する。
• 計算量は、変数の数 n、プログラム長 Γ、次数 d を用いて分析され、合計 Õ(n⁴Γd) の演算で抑えられる。
• 記号計算技術と直線プログラムによる効率的な評価に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー技法は、スパースなカラムサポートを持つ行列式系を効率的に解くためにどのように適合可能か？
• RQ2 このような系の零次元パラメータ化を計算する際の計算量は何か？
• RQ3 正則列が途中で終了する可能性がある系に対しても、幾何的分解は適用可能か？
• RQ4 直線プログラムの使用は、このような構造的系の解法における効率性をどのように向上させるか？
• RQ5 スパarsityとカラムサポート構造は、高速な計算を可能にする要因として果たす役割は何か？

主な発見

• アルゴリズムは、幾何的分解を用いて Θρ(𝓜ⱼ) の解集合の零次元パラメータ化を効果的に計算した。
• 系が早期に終了する場合（空集合を定義する場合）であっても、この手法は有効である。
• 計算量は Õ(n⁴Γd) に上限が設定されており、Γ は直線プログラムの長さである。
• 直線プログラムの使用により、すべての必要な多項式 Θρ(𝓜ⱼ) および中間式の効率的評価が可能になった。
• 本手法は、スパースなカラムサポートを持つ構造的系へと既存の手法を一般化し、このようなケースにおける効率性を向上させた。
• 正則列で定義される系に対して、正しくかつ完全に処理できるフレームワークを提供した。