[論文レビュー] Bit complexity for multi-homogeneous polynomial system solving Application to polynomial minimization

Mohab Safey El Din, Éric Schost|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 54被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、有理数体上での多準同型多項式系を解くための確率的アルゴリズムを提示する。入力の高さに線形に、解の個数に二次的に依存するビット複雑性を達成しており、一般性仮定の下で成り立つ。これは、多準同型ベズー上限とゼロ次元パラメータ化を活用することで達成され、ラグランジュ乗数法による多項式最小化問題への応用が行われ、最適化問題におけるタイトなビット複雑性境界が得られる。

ABSTRACT

Multi-homogeneous polynomial systems arise in many applications. We provide bit complexity estimates for solving them which, up to a few extra other factors, are quadratic in the number of solutions and linear in the height of the input system under some genericity assumptions. The assumptions essentially imply that the Jacobian matrix of the system under study has maximal rank at the solution set and that this solution set if finite. The algorithm is probabilistic and a probability analysis is provided. Next, we apply these results to the problem of optimizing a linear map on the real trace of an algebraic set. Under some genericity assumptions, we provide bit complexity estimates for solving this polynomial minimization problem.

研究の動機と目的

• 有理数体上での多準同型多項式系を解くビット複雑度最適化アルゴリズムの開発。
• 解の個数に二次的、入力の高さに線形的に依存するタイトなビット複雑度境界の確立。
• ラグランジュ乗数法を用いた制約付き多項式最小化問題へのアルゴリズムの応用。
• 最大ヤコビアンランクおよび有限解集合を含む一般性仮定のもとで結果が成り立つことを保証すること。
• 確率的アルゴリズムの正しさと効率性に関する確率的解析の提供。

提案手法

• 解集合を代数的に表現するために、分離線形形式 λ を用いたゼロ次元パラメータ化を用いる。
• 標準的なベズー上限よりも正確に解の個数を推定するために、多準同型ベズー上限を適用する。
• 解の表現の高さをバウンドするために、チャウ形式と算術的チャウ環を用いる。
• 多項式の高さと解集合の次数を用いて、ビット複雑度の推定値を導出する。
• 確率的アルゴリズムであり、一般性条件のもとで正しさを保証する確率的解析を含む。
• 問題をラグランジュ系に還元することで、多項式最小化への応用を拡張し、これを多準同型系として扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般性仮定の下で、多準同型多項式系を解く際のビット複雑度は何か？
• RQ2 ビット複雑度は、解の個数および入力多項式の高さに対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 同じ複雑度境界を、ラグランジュ乗数法による多項式最小化問題へ拡張できるか？
• RQ4 多準同型構造は、標準的なベズー上限と比較して、複雑度推定値の改善にどのように寄与するか？
• RQ5 ゼロ次元パラメータ化とチャウ形式を用いて、解のビットサイズをどのようにバウンドできるか？

主な発見

• 多準同型系を解くビット複雑度は、対数要因を除いて、解の個数に二次的、入力の高さに線形的に依存する項によってバウンドされる。
• 最大ヤコビアンランクが解で達成され、解集合が有限であるという一般性仮定のもとで、この複雑度が達成される。
• 解集合のチャウ形式の高さは、Hn(η, d) + log(N + 1)Cn(d) によってバウンドされ、ここで Hn と Cn は母関数によって定義される。
• 多項式最小化において、ラグランジュ系が多準同型系であることが示され、同じ複雑度境界を適用可能となる。
• ゼロ次元パラメータ化における多項式の高さは、Hn(η, d) + (b + 4 log(N + 2))Cn(d) によってバウンドされ、ここで b は線形形式 λ の高さである。
• 結果は確率的であり、同じ一般性仮定のもとで正しさの解析が提供されている。