[論文レビュー] Homotopy Theory of linear cogebras

Brice Le Grignou, Damien Lejay|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$σ\mathcal{E}_\infty$、$σ\mathcal{A}_\infty$、$σ\mathcal{L}_\infty$ などの cogebras に対してホモトピー理論を確立する。そのために、曲率と非コネルポテンス性を自然に扱える完全な曲がった代数の圏を導入し、cogebras のモデル圏構造と準同値なモデル圏構造を備える。主な貢献は、局所的非コネルポテンス性や曲率のない quasi-isomorphism 理論の存在を仮定せずに、cogebras のホモトピー的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

We study extensively the homotopy theory of cogebras. By cogebras, we mean the full theory of cogebras: with counits and not necessarily locally conilpotent. For example $\mathcal E_\infty$-cogebras, $\mathcal A_\infty$-cogebras, $\mathcal L_\infty$-cogebras etc. To do so, we define the category of complete curved algebras --- where the notion of quasi-isomorphims does not make sense --- and endow it with a model category structure, equivalent to that of the category of cogebras.

研究の動機と目的

• 局所的非コネルポテンス性を有する cogebras を含む、cogebras の包括的なホモトピー理論の構築を目的とする。
• 曲がった代数において意味のある quasi-isomorphism の概念が欠如している問題を解決するため、新しい圏を導入する。
• 完全な曲がった代数の圏に、cogebras のホモトピー理論と同等のモデル圏構造を構築する。
• 代数の既存のホモトピー的枠組みを、余単位をもつ cogebras の双対的設定に一般化する。
• 非コネルポテンスな cogebras、たとえば $σ\mathcal{E}_\infty$-cogebras における導来的およびホモトピー的技法の基礎を提供する。

提案手法

• 曲率と非コネルポテンス性を自然に扱える完全な曲がった代数の圏を定義する。
• 曲がった構造に適合したファイブレーション、コポリエーション、弱同値を用いて、完全な曲がった代数の圏にモデル圏構造を導入する。
• 完全な曲がった代数のモデル圏と cogebras の圏との間で、クイレン同値性を確立する。
• 曲がった微分付き代数的構造を用いて、cogebras における高次ホモトピー整合性をモデル化する。
• 非コネルポテンスかつ非コポリエーション的対象を取り扱うために、導来代数およびホモロジー代数の技法を適用する。
• 代数と cogebras の間の双対性を活用し、代数から cogebras へのホモトピー的構造の転送を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的非コネルポテンス性や標準的な方法での曲がり方を有さない cogebras に対して、どのようにホモトピー理論を構築できるか？
• RQ2 どの曲がった代数の圏が、cogebras のホモトピー理論と同等の良好なモデル構造を備えているか？
• RQ3 曲がった代数において quasi-isomorphism が存在しない問題を、新しいモデル圏枠組みを導入することで回避可能か？
• RQ4 cogebras のホモトピー理論と完全な曲がった代数の圏との関係は何か？
• RQ5 コネルポテンス性が欠如する状況において、$σ\mathcal{E}_\infty$-cogebras のような高次代数的構造をどのようにホモトピー的に扱えるか？

主な発見

• 完全な曲がった代数の圏は、明確なモデル圏構造を備えており、曲がった代数における quasi-isomorphism 理論の欠如を解消する。
• このモデル圏は cogebras の圏とクイレン同値であり、cogebras のホモトピー的基盤を確立する。
• この枠組みは $σ\mathcal{E}_\infty$、$σ\mathcal{A}_\infty$、$σ\mathcal{L}_\infty$-cogebras を含むさまざまな cogebras に一様に適用可能である。
• 局所的非コネルポテンス性の仮定が不要であるため、より広範な cogebras のクラスへのホモトピー理論の拡張が可能になる。
• 完全な曲がった代数のモデル構造により、cogebras の文脈でホモトピー極限・余極限、および導来関手を定義する標準的な方法が得られる。
• 代数と cogebras の間の双対性がホモトピー的文脈でも保たれ、代数から cogebras への結果の転送が可能になる。