[論文レビュー] Honeycomb Schroedinger operators in the strong binding regime

Charles Fefferman, James Lee-Thorp+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2016

Topological Materials and Phenomena参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、強い結合領域において、ヘキサゴナルスカラー作用素の最低2つのフロケット＝ブロッホ分散関係面が、適切なスケーリングのもとで、2準位のタイトビンディングモデル（Wallace, 1947）のそれへ一様に収束することを確立する。解析によりディラック点の出現が証明され、$π$対称性が破れた系におけるスペクトルギャップや、大規模な横方向局在摂動に対して頑健なトポロジカルに保護されたエッジ状態に関する厳密な結果が得られる。

ABSTRACT

In this article, we study the Schrödinger operator for a large class of periodic potentials with the symmetry of a hexagonal tiling of the plane. The potentials we consider are superpositions of localized potential wells, centered on the vertices of a regular honeycomb structure corresponding to the single electron model of graphene and its artificial analogues. We consider this Schrödinger operator in the regime of strong binding, where the depth of the potential wells is large. Our main result is that for sufficiently deep potentials, the lowest two Floquet-Bloch dispersion surfaces, when appropriately rescaled, converge uniformly to those of the two-band tight-binding model (Wallace, 1947). Furthermore, we establish as corollaries, in the regime of strong binding, results on (a) the existence of spectral gaps for honeycomb potentials that break $\mathcal{P}\mathcal{T}$ symmetry and (b) the existence of topologically protected edge states -- states which propagate parallel to and are localized transverse to a line-defect or "edge" - for a large class of rational edges, and which are robust to large localized perturbations of the edge. We believe that the ideas of this article may be applicable in other settings for which a tight-binding model emerges in an extreme parameter limit.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素がヘキサゴナルポテンシャルを有する強いつながり領域における有効低エネルギー理論としての2準位タイトビンディングモデルの出現を厳密に正当化すること。
• $π\mathcal{T}$対称性が破れるヘキサゴナルポテンシャルにおけるスペクトルギャップの確立を、タイトビンディング極限への収束を活用して行うこと。
• 横方向局在摂動に対して頑健であることを示す、あるクラスの有理的エッジにおけるトポロジカルに保護されたエッジ状態の存在とその頑健性を証明すること。
• グラフェンに限らない応用を想定した、極限的なパrameter条件下でのタイトビンディングモデルの出現を数学的に枠組みづけること。

提案手法

• ヘキサゴナル対称性を有する周期的シュレーディンガー作用素のスペクトルを分析するためのフロケット＝ブロッホ理論の使用。
• エネルギー準位のスケーリング $\rho^\lambda = \lambda^2 \|V_0\|_{L^\infty}^{-1}$ を用いた摂動理論の適用により、連続モデルからタイトビンディング極限への接続。
• Wannier関数間の重なりを制御し、行列要素の指数的減少を保証するために、幾何学的補題（補題15.1）の使用。
• 自己随伴摂動理論を用いた分散関係の漸近展開の導出および、リゾルベントと射影作用素のバインディングの導出。
• スペクトル分離の制御と低エネルギー部分空間への収束を保証するために、エネルギーギャップ性質（EG）および基底状態バインディング（GS）の使用。
• スケーリングされたハミルトニアン $\widetilde{H}^\lambda_{\bf k} = H^\lambda_{\bf k}/\rho^\lambda$ の解析により、$\lambda \to \infty$ の極限でタイトビンディングハミルトニアン $H_{\rm TB}({\bf k})$ への収束を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘキサゴナルシュレーディンガー作用素の最低2つのフロケット＝ブロッホ分散関係面は、強い結合領域でどのように振る舞うか？
• RQ2 連続的シュレーディンガー作用素がいつ2準位タイトビンディングモデルに収束するか？
• RQ3 $\mathcal{P}\mathcal{T}$対称性が破れるヘキサゴナルポテンシャルにおいて、スペクトルギャップを厳密に確立できるか？
• RQ4 有理的エッジにおけるヘキサゴナルポテンシャルに対して、トポロジカルに保護されたエッジ状態は存在するか？また、大規模な横方向局在摂動に対しても安定か？
• RQ5 収束および安定性の定数がポテンシャルパラメータおよび幾何学的要因にどのように定量的に依存するか？

主な発見

• 十分に深いポテンシャル（$\lambda \geq \lambda_*$）に対して、スケーリングされた分散関係面 $\rho^{-1}(E_\pm^\lambda({\bf k}) - E_D^\lambda)$ は、2準位タイトビンディングモデルのそれへ一様に収束する。
• 収束速度は指数的に速い：$\mathcal{O}(e^{-c\lambda})$（$c>0$）であり、${\bf k}$ に関して一様に成り立つ。
• $\mathcal{P}\mathcal{T}$対称性が破れるヘキサゴナルポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素において、タイトビンディング極限の系の系として、スペクトルギャップが存在する。
• 大規模な有理的エッジのクラスに対してトポロジカルに保護されたエッジ状態が存在し、ディラック点からの分岐のため、大規模な横方向局在摂動に対しても頑健である。
• 収束および安定性推定における定数は、$\beta_{\rm max}$、エネルギーギャップ $c_{\rm gap}$、基底状態バインディング $C$、および $r_{\rm critical} - r_0$ の下界にのみ依存する。
• この枠組みは、$\lambda^2 V_0$ の形をとらない一般の原子ポテンシャル $V_1({\bf x})$ に対しても適用可能であり、$\lambda = \|V_1\|_{L^\infty}^{1/2}$ および $V_0 = \lambda^{-2} V_1$ を定義することで可能となる。