[論文レビュー] Hopf algebra deformations of binary polyhedral groups

Julien Bichon, Sonia Natale|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元2の自己双対的で忠実な既約余モジュールをもつ半単純ホップ代数を分類し、それらが二面体的多面体群の変形として生じることを示している。このようなホップ代数は、二面体的多面体群の可換な群代数であるか、非自明な変形であることが示され、その表現カテゴリは、点付きのファージョンカテゴリの${\mathbb{Z}}_2$-等化によって記述される。

ABSTRACT

We show that semisimple Hopf algebras having a self-dual faithful irreducible comodule of dimension 2 are always obtained as abelian extensions with quotient Z_2. We prove that nontrivial Hopf algebras arising in this way can be regarded as deformations of binary polyhedral groups and describe its category of representations. We also prove a strengthening of a result of Nichols and Richmond on cosemisimple Hopf algebras with a 2-dimensional irreducible comodule in the finite dimensional context. Finally, we give some applications to the classification of certain classes of semisimple Hopf algebras.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた、特性0の体上での有限次元半単純ホップ代数で、次元2の自己双対的で忠実な既約余モジュールをもつものについて分類すること。
• このようなホップ代数が、二面体的多面体群の可換な群代数であるか、それらの非自明な変形であることを示すこと。
• これらのホップ代数の表現カテゴリを、点付きのファージョンカテゴリの${\mathbb{Z}}_2$-等化によって記述すること。
• 4次元の単純な部分余代数が生成するホップ部分代数の構造を特定することで、有限次元的文脈におけるニコルズ＝リッチモンドの定理を強化すること。
• $\mathcal{O}_{-1}[\mathrm{SL}_2(k)]$の商ホップ代数の代数的特徴づけを、$\mathrm{SU}_{-1}(2)$のコンパクトな量子部分群に類似した形で与えること。

提案手法

• ホップ代数$H$に4次元の単純な部分余代数$C$が存在し、それに対応する2次元の既約余モジュールがある場合に、アーベル拡大およびコセンタール正確列の理論を用いて分析する。
• フロベニウス＝シュール指標 $\nu(V) = \pm 1$ を用いて可換と非可換の場合を区別し、群代数か変形に分類する。
• ホップ部分代数$B = k[C\mathcal{S}(C)] \simeq k^\Gamma$の構造を用い、ここで$\Gamma$は$\mathrm{PSL}_2(k)$の偶数次の非巡回有限部分群である。
• 群コホモロジーとカック正確列を用いて、拡大 $k^\Gamma \to H \to k\mathbb{Z}_2$ を分類し、$H^2(N, k^\times)$と接続写像$d_2$の役割を特定する。
• 得られるホップ代数の表現カテゴリを、$\Gamma$に関連する点付きのファージョンカテゴリの${\mathbb{Z}}_2$-等化として特徴づける。
• 二面体的多面体群$\widetilde{\Gamma}$の明示的変形$\mathcal{A}[\widetilde{\Gamma}]$と$\mathcal{B}[\widetilde{\Gamma}]$を構成し、アイコサヘドロン群に対しては$\mathcal{B}[\widetilde{I}]$のみが存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元2の自己双対的で忠実な既約余モジュールをもつ有限次元半単純ホップ代数の構造は何か？
• RQ2 このようなホップ代数は、群代数とその変形の観点からどのように分類できるか？
• RQ3 このクラスの可換と非可換ホップ代数を区別するためのフロベニウス＝シュール指標の役割は何か？
• RQ4 これらのホップ代数の表現カテゴリは、等化ファージョンカテゴリとどのように関係しているか？
• RQ5 どの二面体的多面体群が非自明なホップ代数の変形を許容するか？ また、それらのコホモロジー的不変量は何か？

主な発見

• 次元2の自己双対的で忠実な既約余モジュールをもつ半単純ホップ代数は、$\nu(V) = -1$ のとき、非アーベルな二面体的多面体群$\widetilde{\Gamma}$の可換な群代数$k^{\widetilde{\Gamma}}$であるか、$\nu(V) = 1$ のとき、非自明な変形$\mathcal{A}[\widetilde{\Gamma}]$または$\mathcal{B}[\widetilde{\Gamma}]$である。
• ホップ部分代数$B = k[C\mathcal{S}(C)]$は、$\Gamma$を$\mathrm{PSL}_2(k)$の偶数次の非巡回有限部分群としてとると、$k^\Gamma$に同型であり、$|G[\chi]|$は4を割る。ここで$G[\chi]$は文字$\chi$の安定化部分群である。
• $V$が自己双対的で$\nu(V) = 1$のとき、ホップ代数$H$は、$\Gamma$を偶数次の多面体群とするコセンタール正確列 $k \to k^\Gamma \to H \to k\mathbb{Z}_m \to k$ に含まれる。
• ホップ代数$H$の$H$-余モジュールのカテゴリは、補題5.12で示されるように、${\mathbb{Z}}_2$-等化ファージョンカテゴリに同値である。
• 二面体的アイコサヘドロン群$\widetilde{I}$に対しては、変形$\mathcal{B}[\widetilde{I}]$のみが存在するが、$D_n$に対しては$\mathcal{A}[\widetilde{D}_n]$と$\mathcal{B}[\widetilde{D}_n]$の両方が存在しうる。
• $\operatorname{Opext}(k^\Gamma, k\mathbb{Z}_2)/K$は、接続写像$d_2: H^2(\Gamma, k^\times) \to H^2(\mathbb{Z}_2, \widehat{\Gamma})$の単射性に応じて、$1$または$\mathbb{Z}_2$に同型であり、$K$は分解拡大のねじれ変形をパラメータ化する。