[論文レビュー] Hopf algebras and finite tensor categories in conformal field theory

Jürgen Fuchs, Christoph Schweigert|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 55被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限テンソル圏とホップ代数を用いて、有理的および非有理的 conformal field theory (CFT) の圏的枠組みを構築する。内部ホップ代数を用いて、非半単純な設定へのヴェルリンデの公式の一般化を実現し、これらの構造が相関関数を記述し、3次元多様体の不変量およびマッピングクラス群の表現を生成することを示している。

ABSTRACT

In conformal field theory the understanding of correlation functions can be divided into two distinct conceptual levels: The analytic properties of the correlators endow the representation categories of the underlying chiral symmetry algebras with additional structure, which in suitable cases is the one of a finite tensor category. The problem of specifying the correlators can then be encoded in algebraic structure internal to those categories. After reviewing results for conformal field theories for which these representation categories are semisimple, we explain what is known about representation categories of chiral symmetry algebras that are not semisimple. We focus on generalizations of the Verlinde formula, for which certain finite-dimensional complex Hopf algebras are used as a tool, and on the structural importance of the presence of a Hopf algebra internal to finite tensor categories.

研究の動機と目的

• 半単純なモジュラーテンソル圏を超えて、共形場理論における相関関数の代数的理解を拡張すること。
• 非有理的CFTの挑戦に応えるために、必ずしも半単純でない有限テンソル圏を導入すること。
• 相関関数がFrobenius代数およびテンソル圏内の内部ホップ代数構造によって記述される圏的枠組みを確立すること。
• 有限次元ホップ代数およびそのHigmanイデアルを用いて、非半単純な設定へのヴェルリンデの公式の一般化を実現すること。
• rigidity関手のcoendとして定義される圏的ホップ代数—すなわち、3次元多様体の不変量およびマッピングクラス群の表現を生成する役割を果たす—の役割を調査すること。

提案手法

• CFTにおけるチャイナルデータの圏的枠組みとして有限テンソル圏を用い、半単純なモジュラーテンソル圏を一般化する。
• リボン圏の図式的計算を用いて、バーニング、双対性、ねじれを含む射を表現し、S³におけるリボンを用いる。
• リバティー関手に関連する関手のcoendとして定義される圏的ホップ代数を導入し、モジュラーテンソル圏の概念を一般化する。
• 3次元トポロジカル量子場理論を用いて相関関数を構成するための主要な入力として、圏C内の内部Frobenius代数を用いる。
• 積分と余積分が恒等写像であることを仮定することで、ホップ代数におけるFrobenius写像の可逆性を示し、写像とその逆写像が互いに逆写像であることを証明する。
• 因子的リボンホップ代数のHigmanイデアルに対するヴェルリンデに類似した公式を、圏的ホップ代数構造を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有理的CFTにおける相関関数は、有限テンソル圏内の内部代数的構造をどのように体系的に記述できるか？
• RQ2 非半単純な有限テンソル圏において、ヴェルリンデの公式の一般化は何か？ そしてそれはホップ代数構造とどのように関係するか？
• RQ3 リバティー関連の関手のcoendとして定義される圏的ホップ代数—すなわち、CFTにおける位相的不変量を生成する役割を果たす—の役割は何か？
• RQ4 同じ圏的ホップ代数から、3次元多様体の不変量およびマッピングクラス群の表現が生じるが、それらが完全に一致しない場合、その関係はどのようなものか？
• RQ5 積分と余積分を備えた有限次元ホップ代数は、半単純でない場合のヴェルリンデの公式の一般化にどのように寄与するか？

主な発見

• 反作用素が可逆であり、積分と余積分の合成が恒等写像である場合、Frobenius写像Ψとその逆写像Ψ⁻¹が互いに逆写像であることが示された。
• 反作用素が可逆で、正規化された積分を備えたリボン圏内のホップ代数Hは、Ψ⁻¹ ◦ Ψ = id_HおよびΨ ◦ Ψ⁻¹ = id_Hを満たし、Frobenius性質が証明される。
• ホップ代数Hは、積分と反作用素を用いて定義されるFrobenius余積分Δ_FおよびFrobenius余単位ε_F = λを備えた自然なFrobenius代数である。
• リバティー関手のcoendとして定義される圏的ホップ代数は、3次元多様体の不変量およびマッピングクラス群の表現を生成する。
• 因子的リボンホップ代数のHigmanイデアルに対するヴェルリンデに類似した公式が導出され、古典的ヴェルリンデの公式が非半単純な設定へと拡張された。
• 非半単純な場合でも、内部Frobenius代数および3次元トポロジカル量子場理論を用いて、有理的CFTにおける相関関数の構成が非有理的モデルへと一般化された。