[論文レビュー] Hopf Algebras of m-permutations, (m+1)-ary trees, and m-parking functions

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

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ひとこと要約

本稿では、置換、パックドワード、パーキング関数といった古典的な組合せ論的ホップ代数の m-アナログを、新たな合同関係であるハイポシルベストおよびメタシルベストを定義することで導入する。これらの合同関係は、シルベストの合同関係を一般化し、(m+1)-分木、m-置換、m-パーキング関数によって添え字づけられる基底を持つホップ代数を生じさせ、積は m-Tamari ラティス内の区間に対応する。主な貢献は、非可換対称関数と準対称関数を自然に統一的かつ拡張的に扱う、これらの m-アナログホップ代数の体系的な構成である。

ABSTRACT

The m-Tamari lattice of F. Bergeron is an analogue of the clasical Tamari order defined on objects counted by Fuss-Catalan numbers, such as m-Dyck paths or (m+1)-ary trees. On another hand, the Tamari order is related to the product in the Loday-Ronco Hopf algebra of planar binary trees. We introduce new combinatorial Hopf algebras based on (m+1)-ary trees, whose structure is described by the m-Tamari lattices. In the same way as planar binary trees can be interpreted as sylvester classes of permutations, we obtain (m+1)-ary trees as sylvester classes of what we call m-permutations. These objects are no longer in bijection with decreasing (m+1)-ary trees, and a finer congruence, called metasylvester, allows us to build Hopf algebras based on these decreasing trees. At the opposite, a coarser congruence, called hyposylvester, leads to Hopf algebras of graded dimensions (m+1)^{n-1}, generalizing noncommutative symmetric functions and quasi-symmetric functions in a natural way. Finally, the algebras of packed words and parking functions also admit such m-analogues, and we present their subalgebras and quotients induced by the various congruences.

研究の動機と目的

• 置換、パックドワード、パーキング関数といった古典的構造の組合せ論的ホップ代数の理論を、m-アナログへと拡張すること。
• m-置換および m-パックドワード上でシルベストの合同関係を一般化する新たな合同関係、すなわちハイポシルベストおよびメタシルベストを定義すること。
• 基底が (m+1)-分木、m-置換、m-パーキング関数によって添え字づけられるホップ代数を構成し、その積が m-Tamari ラティスの順序に対応すること。
• ハイポシルベスト商を用いて、(m+1)^{n-1} の次数次元を持つことで、非可換対称関数および準対称関数を一般化すること。
• 関数方程式と双対写像を用いて、m-Tamari ラティス、m-Dyck 路、ホップ代数の間の関係を確立すること。

提案手法

• m-置換および m-パックドワード上でハイポシルベストおよびメタシルベスト合同関係を導入し、シルベストの合同関係を精緻化する。
• m-標準化を用いて、自由 m-準対称関数のホップ代数 ${}^{m}{\bf FQSym}$ を定義し、FQSym の一般化とする。
• ${}^{m}{\bf FQSym}$ のメタシルベストおよびハイポシルベスト合同関係による商を用いて、降下する (m+1)-分木およびハイポシルベスト類によって添え字づけられる部分代数としてホップ代数を構成する。
• m-置換のシルベスト類と (m+1)-分木との間の双対写像を確立し、m=1 の場合の Loday-Ronco の構成を一般化する。
• 関数方程式および母関数を用いて、m-置換、m-パックドワード、m-パーキング関数におけるシルベスト、ハイポシルベスト、メタシルベスト類の数を数える。
• プラクティックおよびハイポプラクティック合同関係を参照点として、新規の合同関係がホップ代数構造の文脈でどのように比較・対比されるかを検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換におけるシルベスト合同関係を m-置換へと一般化することで、(m+1)-分木によって添え字づけられるホップ代数が得られるか。
• RQ2 m-置換および m-パックドワードにおける新規のハイポシルベストおよびメタシルベスト合同関係の組合せ論的および代数的性質は何か。
• RQ3 得られるホップ代数の次数次元 (m+1)^{n-1} が、非可換対称関数および準対称関数をどのように一般化するか。
• RQ4 m-Tamari ラティスと (m+1)-分木のホップ代数における積構造との関係は何か。
• RQ5 m-パックドワードおよび m-パーキング関数のホップ代数における、さまざまな商（シルベスト、ハイポシルベスト、メタシルベスト、ハイポプラクティック）は、既知の組合せ論的数列とどのように関係するか。

主な発見

• m-置換のシルベスト類は、(m+1)-分木と双対写像の関係にあり、m=1 の場合の Loday-Ronco の構成を一般化する。
• 自由 m-準対称関数のホップ代数 ${}^{m}{\bf FQSym}$ は、古典的 FQSym 代数の部分代数と同型である。
• ${}^{m}{\bf FQSym}$ のハイポシルベスト商は、次数次元 (m+1)^{n-1} を持つホップ代数を生じさせ、非可換対称関数を一般化する。
• メタシルベスト商は、降下する (m+1)-分木によって添え字づけられるホップ代数を生じさせ、m=1 の場合の A000272 に一致し、m が高次の場合には A052750、A052752 などに一般化される。
• m-パーキング関数について、シルベスト類の数は m=1 の場合に A001764 に一致し、m が高次の場合には A002294、A002296 などに一般化される。
• m-パーキング関数のメタシルベスト類は、A132624 によって数えられるものと予想されており、最初の行は m=1 の既知の数列と一致する。