[論文レビュー] Horizon energy as the boost boundary term in general relativity and loop gravity

Eugenio Bianchi, Wolfgang Wieland|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、Frodden, Ghosh, and Perezが提唱したホライズンエネルギーが、BF変数におけるエインシュタイン＝カルタン作用にホルスト項を加えたものにおいて、ブースト境界項として生じることを示している。スピンフォーム変数を用いて、Carlip-Teitelboimのホライズンハミルトニアンを導出し、ループ量子重力がホライズンシュレーディンガー方程式を実現することを示し、ホライズンハミルトニアンを量子ブースト生成子として特定することで、ホライズンの熱力学とループ量子重力の力学を結びつける。

ABSTRACT

We show that the near-horizon energy introduced by Frodden, Ghosh and Perez arises from the action for general relativity as a horizon boundary term. Spin foam variables are used in the analysis. The result provides a derivation of the horizon boost Hamiltonian introduced by one of us to define the dynamics of the horizon degrees of freedom, and shows that loop gravity provides a realization of the horizon Schrodinger equation proposed by Carlip and Teitelboim.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の作用原理から、Frodden, Ghosh, and Perezが導入したホライズンエネルギーを導出すること。
• エインシュタイン＝カルタン作用にホルスト項を加えたものにおいて、BF変数を用いた場合に、Carlip-Teitelboimのホライズンハミルトニアンがコーナー境界項として出現することを示すこと。
• ループ量子重力が、CarlipとTeitelboimが提唱したホライズンシュレーディンガー方程式の量子的実現を提供することを確立すること。
• ループ量子重力におけるホライズンハミルトニアンが、単に面積演算子に比例するのではなく、量子ブースト生成子であることを示すこと。

提案手法

• 解析は、BF変数におけるエインシュタイン＝カルタン作用にホルスト項を加えたものに基づく。作用は $ I_4 = \frac{1}{2}\int_{M_4} \left( \frac{1}{2}\epsilon_{IJKL}B^{KL} + \frac{1}{\gamma}B_{IJ} \right) \wedge F^{IJ}(\omega) $ として表される。
• 内境界（例えばブラックホールホライズン）が存在する状況においても変分原理が適切に定義されるように、境界項 $ I_3 $ とコーナー項 $ I_2 $ が導出される。
• コーナー項 $ I_2 = -\int_{M_2} \left( \frac{1}{2}\epsilon_{IJKL}B^{KL} + \frac{1}{\gamma}B_{IJ} \right) n^I z^J \eta $ は、ホライズンブーストハミルトニアンとして特定される。
• ローレンツ接続に共役な運動量は $ \Pi_{IJ} = \frac{1}{2}\epsilon_{IJKL}B^{KL} + \frac{1}{\gamma}B_{IJ} $ であり、これはスピンフォームの面 $ f $ 上で量子ブースト生成子 $ \hat{H} = \sum_f \hbar K_z^f $ を定義する。
• ホライズンハミルトニアンは $ \hat{H} = \sum_f \hbar K_z^f $ として量子化され、ここで $ K_z^f $ は方向 $ z^I $ におけるブースト生成子であり、エネルギーは $ \hat{E} = \hat{H} \ell^{-1} $ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Frodden, Ghosh, and Perezが導出したホライズンエネルギーは、一般相対性理論の古典的作用からどのように生じるのか？
• RQ2 エインシュタイン＝カルタン作用にホルスト項を加えた場合に、Carlip-Teitelboimのホライズンハミルトニアンが境界項として導出可能か？
• RQ3 ループ量子重力は、ブースト生成子を伴うホライズンシュレーディンガー方程式を量子的実現可能か？
• RQ4 ループ量子重力におけるホライズンハミルトニアンは、真に量子ブースト生成子であり、面積演算子に比例するものとはどのように異なるのか？

主な発見

• 作用におけるコーナー項 $ I_2 $ は、Carlip-Teitelboimのホライズンハミルトニアンを再現し、ホライズン付近におけるブースト生成子としての役割を確認する。
• Frodden, Ghosh, and Perezが導出したホライズンエネルギー $ E = \frac{A}{8\pi G} \ell^{-1} $ は、適切な時間 $ t = \eta \ell $ におけるコーナー項の期待値として正確に再現され、ブーストパラメータと結びつく。
• 量子ホライズンハミルトニアン $ \hat{H} = \sum_f \hbar K_z^f $ は、スピンフォームによるブースト生成子の量子化として特定され、ホライズンシュレーディンガー方程式の動的実現を提供する。
• ホライズンハミルトニアンは面積演算子に比例しない。回転と非可換であるためであり、エネルギーと面積の関係は期待値を通じてのみ出現する。
• エネルギーと面積の分散は、ホライズンエネルギー-面積不確定性関係に従い、これはループ量子重力の量子力学的ダイナミクスと整合的である。
• ブーストハミルトニアンは、特定の観測者に依存しない、重力自体の基本的性質である。これは作用における幾何的境界項として生じるためである。