[論文レビュー] Horizontal $\alpha$-Harmonic Maps

Francesca Da Lio, Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℝ^m 上の平面の分布への水平 α-調和写像を導入し、古典的調和写像を可積分でない分布へ一般化する。α = 1/2 の 1次元および α = 2 の 2次元において、解が非対称ポテンシャルを伴うシュレーディンガー型系を満たすことを示し、これにより先行研究の保存則技法を用いて Hölder 継続性および部分的正則性を証明する。

ABSTRACT

Given a $C^1$ planes distribution $P_T$ on all ${\\mathbb R}^m$ we consider {\\em horizontal $\\alpha$-harmonic maps}, $\\alpha\\ge 1/2$, with respect to such a distribution. These are maps $u\\in H^{\\alpha}({{\\mathbb R}}^k,{{\\mathbb R}}^m)$ satisfying $P_T\ abla u=\ abla u$ and $P_T(u)(-\\Delta)^{\\alpha}u=0$ in ${\\mathcal D}'({{\\mathbb R}}^k).$ If the distribution of planes is integrable then we recover the classical case of $\\alpha$-harmonic maps with values into a manifold. In this paper we shall focus our attention to the case $\\alpha=1/2$ in dimension $1$ and $\\alpha=2$ in dimension $2$ and we investigate the regularity of the {\\em horizontal $\\alpha$-harmonic maps}. In both cases we show that such maps satisfy a Schr\\"odinger type system with an antisymmetric potential, that permits us to apply the previous results obtained by the authors. Finally we study the regularity of {\\em variational $\\alpha$-harmonic} maps which are critical points of $\\|(-\\Delta)^{\\alpha/2} u\\|^2_{L^2}$ under the constraint to be tangent (horizontal) to a given planes distribution. We produce a convexification of this variational problem which permits to write it's Euler Lagrange equations.

研究の動機と目的

• ℝ^m における平面の分布に対して、α-調和写像の理論を可積分でない分布へ一般化し、部分多様体を超えた古典的理論を拡張すること。
• 分布が可積分でない場合における水平 α-調和写像の正則性を調査すること、特に 1次元で α = 1/2、2次元で α = 2 の場合に焦点を当てる。
• 水平分布に制約された α-調和写像の変分的枠組みを確立し、凸化を用いてオイラー＝ラグランジュ方程式を導出すること。
• 得られた方程式が非対称ポテンシャルを伴うシュレーディンガー型構造を有することを示し、これにより既存の保存則の道具立てを活用できることを示すこと。
• 交差項の推定と擬微分作用素理論を用いて、弱解の部分 Hölder 正則性を証明すること。

提案手法

• 水平 α-調和写像を、u ∈ H^α(ℝ^k, ℝ^m) で、P_T∇u = ∇u および P_T(u)(−Δ)^αu = 0 を 𝒟′(ℝ^k) で満たすものとして定義する。ここで P_T は C¹ 級の直交射影場である。
• α = 1/2 の 1次元および α = 2 の 2次元において、(−Δ)^α/2 と射影との交換子を分析することで、非対称ポテンシャルを伴う擬微分方程式系を導出する。
• 3-交換子の構造と統合可能性による補正性の性質を用いて、非局所方程式を局所的シュレーディンガー型 PDE 系に関連付ける。
• 先行研究の非対称ポテンシャルを伴う系に対する保存則（[13] および [5] より）を応用し、解の Hölder 継続性を導出する。
• 水平制約下での α-調和写像の変分問題を、エネルギー関数の凸化により再定式化し、オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• オイラー＝ラグランジュ方程式を、P_T, P_N, (−Δ)^α/2 およびリーマン変換との交換子から導かれる係数を有する擬微分作用素の行列系として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分でない平面の分布に対して、α-調和写像の正則性理論を、部分多様体に限らず拡張可能か？
• RQ2 分布が可積分でない場合における水平 α-調和写像のオイラー＝ラグランジュ方程式の構造はいかなるものか？
• RQ3 交差項の推定と擬微分作用素理論は、可積分性の欠如下でも正則性結果をどのように可能にするか？
• RQ4 非局所方程式 P_T(u)(−Δ)^αu = 0 は、非対称ポテンシャルを伴う局所的系に変換可能か？これにより既存の保存則手法を活用できるか？
• RQ5 水平 α-調和写像の変分的構造は何か？また、凸化により、取り扱い可能なオイラー＝ラグランジュ形式を得られるか？

主な発見

• 1次元で α = 1/2 の場合、水平 1/2-調和写像は非対称ポテンシャルを伴うシュレーディンガー型系を満たし、保存則技法を適用可能にし、Hölder 継続性を証明できる。
• 2次元で α = 2 の場合、系は非対称ポテンシャルを有する同様の構造に還元され、同じ保存則の道具立てにより部分的正則性が得られる。
• (−Δ)^α/2 と射影 P_T, P_N との交差項が、P_T ∈ H^{1/2}(ℝ) ∩ L^∞(ℝ) のとき H^1(ℝ) 内で有界であることが示され、非局所項の制御が可能になる。
• 変分問題のオイラー＝ラグランジュ方程式は、行列形式の擬微分作用素系に再定式化され、係数は交換子を介して表現される。
• 系 (A.40) の擬微分作用素行列 C − 2D が L^2 上で有界であることが示され、P_T の適切な正則性のもとで、系が適切に定義されていることが保証される。
• 主な技術的進展は、制約付き変分問題の凸化であり、これにより正則性解析に適した形でのオイラー＝ラグランジュ方程式の導出が可能になった。