[論文レビュー] Horofunction Compactifications of Symmetric Spaces

Thomas Haettel, Anna-Sofie Schilling+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非コンパクト型の対称空間のすべての一般化されたサタケコンパクト化が、多面体的 $G$-不変リーマン計量を用いたホロ関数コンパクト化として実現可能であることを確立する。主な結果は、このような計量の単位球が表現 $\tau$ の重みの凸包の双対であることを示し、この計量に関して対称空間のホロ関数コンパクト化が、$\tau$ に関連する一般化されたサタケコンパクト化として実現されることを示している。これにより、古典的および一般化されたサタケコンパクト化の計量論的構成が得られる。

ABSTRACT

We consider horofunction compactifications of symmetric spaces with respect to invariant Finsler metrics. We show that any (generalized) Satake compactification can be realized as a horofunction compactification with respect to a polyhedral Finsler metric.

研究の動機と目的

• 非コンパクト型の対称空間の一般化されたサタケコンパクト化の計量論的実現を確立すること。
• 任意の一般化されたサタケコンパクト化が、ある $G$-不変多面体的フィンスラー計量に関するホロ関数コンパクト化として生じることを示すこと。
• 与えられた一般化されたサタケコンパクト化を実現するホロ関数コンパクト化を定義するフィンスラー計量を、表現の重みの凸包の双対を用いて特徴づけること。
• ホロ関数コンパクト化の構造を、古典的幾何的コンパクト化と関連付けることで、対称空間におけるホロ関数コンパクト化の理解を拡張すること。

提案手法

• Cartan分解 $G = KAK$ を用いて、対称空間のホロ関数コンパクト化の研究を、最大平坦部分空間 $F \cong \mathbb{R}^k$ のコンパクト化の研究に還元する。
• 最大平坦部分空間 $\mathfrak{a} \cong \mathbb{R}^k$ に、Weyl群に不変な多面体的単位球を指定することで、対称空間 $X = G/K$ 上に $G$-不変フィンスラー計量を定義する。
• その計量の $\mathfrak{a}$ 内の単位球が、表現 $\tau: G \to \mathrm{PSL}(n,\mathbb{C})$ の重み $\mu_i$ に対して $-\operatorname{conv}(\mu_1, \dots, \mu_k)$ の双対であるように計量を構成する。
• このフィンスラー計量に関して対称空間 $X$ のホロ関数コンパクト化が、一般化されたサタケコンパクト化 $\overline{X}_\tau^S$ と同型であることを証明する。
• 凸性補題およびほぼ測地線とBusemann点の性質を用いて、ホロ関数境界の構造を分析する。
• 最大平坦部分空間 $F \subset X$ のホロ関数コンパクト化における閉包が、誘導されたWeyl群不変フィンスラーノルムに関する平坦部分空間のホロ関数コンパクト化と同型であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての一般化されたサタケコンパクト化が、ある $G$-不変フィンスラー計量に関するホロ関数コンパクト化として実現可能か？
• RQ2 与えられた一般化されたサタケコンパクト化を実現するホロ関数コンパクト化を定義する正確なフィンスラー計量は何か？
• RQ3 表現 $\tau$ の重みポリトープの幾何が、関連するホロ関数コンパクト化の構造をどのように決定するか？
• RQ4 一般化されたサタケコンパクト化と、その双対ポリトープを用いたホロ関数実現との間に双対性があるか？

主な発見

• 非コンパクト型の対称空間 $X = G/K$ の任意の一般化されたサタケコンパクト化 $\overline{X}_\tau^S$ は、$G$-不変多面体的フィンスラー計量 $d$ に関するホロ関数コンパクト化 $\overline{X}_d^{\text{hor}}$ と同型である。
• 一般化されたサタケコンパクト化 $\overline{X}_\tau^S$ を実現するフィンスラー計量の、最大平坦部分空間 $\mathfrak{a} \cong \mathbb{R}^k$ 内の単位球は、表現 $\tau$ の重み $\mu_i$ に対して $-\operatorname{conv}(\mu_1, \dots, \mu_k)$ の双対である。
• 最大平坦部分空間 $F \subset X$ が誘導するWeyl群不変フィンスラーノルムに関してホロ関数コンパクト化されたとき、その結果は $\mathbb{R}^k$ のそのノルムに関するホロ関数コンパクト化と同型である。
• 最高重みが正規方向にある表現 $\tau$ に対して、重みポリトープ $D = \operatorname{conv}(W(\mu_\tau))$ は次元 $n-1$ のパーミュートープである。
• 最高重みがWeylチャネルの壁上にあるとき、ポリトープ $D$ は特異的であり、その双対 $B = -D^\circ$ は異なる組合せ的構造を示す。例えば $\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$ の場合、14個の頂点と12個の面を持つ。
• 一般化されたサタケコンパクト化 $\overline{X}_\tau^{S*}$ は、単位球が $D = \operatorname{conv}(\mu_1, \dots, \mu_k)$ であるフィンスラー計量に関するホロ関数コンパクト化として定義される。これにより、$\overline{X}_\tau^S$ と $\overline{X}_\tau^{S*}$ の間の双対性が示唆される。