[論文レビュー] How Clifford algebra can help understand second quantization of fermion and boson fields

N. S. Mankoč Borštnik|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2022

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ひとこと要約

この論文は、フェルミオン場とボソン場の第二量子化を統一的に理解するための枠組みとしてクリフォード代数が有効であることを示している。フェルミオンの内部状態を奇数次元のクリフォード対象に、ボソン状態を偶数次元の対象に割り当てることで、フェルミオンの生成・消滅演算子の反交換関係とボソン場の交換関係が、代数的構造から自然に導かれる。これは13+1次元以上の時空において第二量子化の仮説に幾何的起源を与える。

ABSTRACT

In the review article in Progress in Particle and Nuclear Physics (vol.121(2021) 103890)) the authors present the achievements so far of the spin-charge-family theory, which offers the explanation for all the so far observed properties of elementary fermion and boson fields, if the space-time is higher than d=(3+1), it must be $d\ge (13+1)$. Fermions interact with gravity only. Ref. PPNP (vol.121(2021) 103890)) presents, in addition to a rather detailed review of all the achievements of this theory so far, also an explanation for the postulates of the second quantization for fermionic fields: The internal space of fermions described with "basis vectors" represented by the Clifford odd objects manifests all the properties of fermion fields, including the anticommutativity of their creation and annihilation operators. This paper shows that even Clifford algebra objects provide a description of the internal space of boson fields manifesting all known properties of boson fields, explaining as well the reasons for the second quantization postulates for boson fields. Properties of fermion and boson fields with the internal spaces described by the Clifford odd and Clifford even objects are demonstrated on the toy model with $d=(5+1)$.

研究の動機と目的

• クリフォード代数を用いてフェルミオン場とボソン場の第二量子化に幾何的かつ代数的基盤を提供すること。
• フェルミオン場が反交換関係を満たす理由とボソン場が交換関係を満たす理由を、クリフォード代数の次数構造を通じて説明すること。
• フェルミオンの内部空間が奇数個のガンマ行列の積として自然に記述され、ボソンが偶数個の積から生じることを示すこと。
• 両方の場の第二量子化の仮説が、任意の仮定を追加せずにクリフォード代数の代数的性質から導かれるということを示すこと。
• スピン電荷家族理論を拡張し、偶数次元クリフォード構造を介してゲージボソンを第二量子化場として一貫して記述すること。

提案手法

• 13+1次元の時空におけるクリフォード代数の構造を用い、ガンマ行列γ^aとその双対˜γ^aが2つの直交する部分代数を生成すること。
• フェルミオンの内部状態をγ^a行列の奇数次元積の重ね合わせとしてモデル化し、それらが固有に反交換することを保証する。
• ボソンの内部状態をγ^a行列の偶数次元積の重ね合わせとしてモデル化し、テンソル積演算においてそれらが可換であることを利用する。
• 生成・消滅演算子をこれらの基底ベクトルと運動量／座標基底とのテンソル積として構成し、代数的統計を保つ。
• ローレンツ生成子の分解S^ab = (i/4)(γ^aγ^b − γ^bγ^a)と˜S^ab = (1/4)(˜γ^a˜γ^b − ˜γ^b˜γ^a)を適用し、対称性とゲージ場・電荷を関連付ける。
• 高次元への拡張の前に代数的構造を理解するために、d = (5+1)の玩具モデルを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリフォード代数は、フェルミオン場の第二量子化の仮説に幾何的起源を与えることができるか？
• RQ2 フェルミオンの生成・消滅演算子がなぜ反交換するのか。これは代数的構造から導出可能か、それとも仮定に依存するのか？
• RQ3 ボソン場の第二量子化も、偶数次元クリフォード対象の代数的性質から同様に導出可能か？
• RQ4 13+1次元以上の高次元におけるフェルミオンとボソンの内部自由度は、標準模型の観測可能な量子数をどのように再現するか？
• RQ5 奇数次元と偶数次元の2つの異なるクリフォード部分代数が、それぞれフェルミオン的・ボソン的統計を生成する役割を果たす仕組みは何か？

主な発見

• フェルミオンの生成・消滅演算子は、奇数次元クリフォード基底ベクトルから反交換性を引き継ぎ、仮定を追加せずに第二量子化の仮説を再現する。
• 偶数次元クリフォード基底ベクトルで記述されるボソン場は、第二量子化枠組みにおいて自然に交換関係を生じる。
• d = (5+1)の玩具モデルにおいて、クリフォードの偶数次元および奇数次元対象の代数的構造がフェルミオンとボソンの統計を正しく再現する。
• フェルミオンの内部空間は、反交換性を示すγ^a行列の奇数個の積の重ね合わせとして記述され、奇数次元のクリフォード代数を形成する。
• ボソンの内部空間は、可換性を示すγ^a行列の偶数個の積として記述され、偶数次元のクリフォード代数を形成する。
• この理論は、13+1次元以上の時空において、フェルミオンとボソンの両方の第二量子化を、クリフォード代数の次数に基づく単一の代数的枠組みで統一的に記述する。