[論文レビュー] How many zeroes? Counting the number of solutions of systems of polynomials via geometry at infinity (Draft II)

Pinaki Mondal|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、代数閉体上でのn元n次多項方程式系の孤立解の個数を数えるためのトロイカル幾何学に基づく手法を提示する。これは、体k上のトーラス(k×)ⁿから全アフィン空間kⁿへのベルンシュタインの定理の拡張である。主な貢献は、ニュートン多面体による一般系の特徴付けと、混合体積を用いた解の個数を求める公式であり、任意の代数閉体上で完全な証明を伴って、長年の代数幾何学の問題を解決する。

ABSTRACT

In this book we describe an approach through toric geometry to the following problem: estimate the number (counted with appropriate multiplicity) of isolated solutions of n polynomial equations in n variables over an algebraically closed field k. The outcome of this approach is the number of solutions for systems in terms of their polytopes, and an explicit characterization of what makes a system generic. The pioneering work in this field was done in the 1970s by Kushnirenko, Bernstein and Khovanskii, who completely solved the problem of counting solutions of generic systems on the torus (k\0)^n. In the context of our problem, however, the natural domain of solutions is not the torus, but the affine space k^n. There were a number of works on extension of Bernstein's theorem to the case of affine space, and recently it has been completely resolved, the final steps having been carried out by the author. The aim of this book is to present these results in a coherent way. We start from the beginning, namely Bernstein's beautiful theorem which expresses the number of solutions of generic systems in terms of the mixed volume of their Newton polytopes. We give complete proofs, over arbitrary algebraically closed fields, of Bernstein's theorem and its recent extension to the affine space, and describe some open problems. We also apply the developed techniques to derive and generalize Kushnirenko's results on Milnor numbers of hypersurface singularities which in 1970s served as a precursor to the development of toric geometry. Care was taken to make this book as elementary as possible. In particular, we develop all the necessary algebraic geometry (modulo some explicitly stated basic results).

研究の動機と目的

• ベルンシュタインの定理をトーラスからアフィン空間kⁿへの拡張を、完全かつ一貫性のある形で取り扱う。
• ニュートン多面体と混合体積を用いて、多項方程式系の一般系を特徴付ける。
• 任意の代数閉体上で利用可能な、初等的かつ自己完結的なベルンシュタインの定理およびその最近の拡張の証明を提供する。
• 発展させた枠組みを用いて、カシュニレニコのハイパーサーフェス特異点のミルナー数に関する結果を一般化する。
• 幾何的手法を用いた多項方程式系の解の個数の列挙に関して、未解決の問題を特定し、それらを議論する。

提案手法

• トロイカル幾何学を用いて、多項方程式系の無限遠における挙動を分析し、特にニュートン多面体の幾何学的性質に注目する。
• 混合体積理論を応用して、アフィン空間における一般系の孤立解の個数を計算する。
• トーラスのコンactificationおよびその境界除数の体系的解析を用いて、トーラスを超えた解の個数を理解する。
• 数学的厳密性を保ちつつ、アクセスを容易にするために、基礎的な代数幾何学の概念を完全から出発して構築する。
• ニュートン多面体の構造を用いて、多項方程式系の一般性条件を定義・特徴付ける。
• ニュートン多面体の混合体積と解の個数（重複度を含む）との間の明確な対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルンシュタインの定理（混合体積による解の個数の数え上げ）をトーラスから全アフィン空間kⁿにどのように拡張できるか。
• RQ2 ニュートン多面体にどのような幾何的条件を課すと、kⁿにおける多項方程式系が孤立解を有限個しか持たなくなるか。
• RQ3 無限遠における解の挙動は、アフィン空間における解の総数にどのように影響するか。
• RQ4 ニュートン多面体と混合体積は、代数閉体上での多項方程式系における一般性をどのように特徴付けるか。
• RQ5 トロイカル幾何学と解の個数の枠組みを用いて、カシュニレニコのミルナー数に関する結果をどのように一般化できるか。

主な発見

• 代数閉体上でのn元n次多項方程式系の孤立解の個数は、それらのニュートン多面体の混合体積によって与えられる。
• ベルンシュタインの定理をアフィン空間への拡張は完全に解決されており、kⁿにおける解の個数を求める完全な公式が得られた。
• 一般性は、ニュートン多面体の相対的位置関係と構造によって幾何的に特徴付けられ、無限遠における横断的性質を保証する。
• 本手法は、トーラス的解とアフィン解を統一的に取り扱うことができ、従来の結果を統合する。
• 本フレームワークにより、カシュニレニコのミルナー数に関する研究が、混合体積の計算と解の個数に結びつける形で一般化された。
• すべての結果は、任意の代数閉体上で証明されており、本のなかで完全な技術的展開が提供されている。