[論文レビュー] How to calculate A-Hilb C^3

Alastair Craw, Miles Reid|ArXiv.org|Sep 15, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 44

ひとこと要約

本稿は、ジュニアシンプレックスの正則三角形分割と連分数を用いて、有限な対角部分群 $A \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ に対するNakamuraの $A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ を簡略化して計算する手法を提示する。$A$-Hilbertスキームが正則三角形分割によって得られるトーリック多様体として実現されることを示し、$\mathbb{C}^3/A$ のクレパント解消の幾何的かつアルゴリズム的構成が可能となる。主な貢献は、従来の複雑な構成を置き換える直接的で組合せ論的なアルゴリズムの提供である。

ABSTRACT

Iku Nakamura [Hilbert schemes of Abelian group orbits, J. Alg. Geom. 10 (2001), 757--779] introduced the G-Hilbert scheme for a finite subgroup G in SL(3,C), and conjectured that it is a crepant resolution of the quotient C^3/G. He proved this for a diagonal Abelian group A by introducing an explicit algorithm that calculates A-Hilb C^3. This note calculates A-Hilb C^3 much more simply, in terms of fun with continued fractions plus regular tesselations by equilateral triangles.

研究の動機と目的

• 有限な対角部分群 $A \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ に対するNakamuraの $A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ を簡略化し、幾何的アルゴリズムで計算すること。
• Nakamuraの元来のアルゴリズムを、連分数とジュニアシンプレックスの正則三角形分割に基づく方法に置き換えること。
• 正則三角形分割から得られるトーリック多様体が $A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ に同型であることを確立すること。
• $\mathbb{C}^3/A$ の商特異点のクレパント解消を構成的かつ可視化可能な記述で提示すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^3$ 内の頂点 $e_1, e_2, e_3$ を持つジュニアシンプレックス $\Delta$ を構成し、アフィン格子 $\mathbb{Z}^2_\Delta = L \cap \mathbb{R}^2_\Delta$ を定義する。
• 各頂点 $e_i$ に対して、$\Delta \setminus \{e_i\}$ 内の格子点の凸包としてニュートン多角形を計算し、Jung–Hirzebruchの連分数規則 $f_{i,j-1} + f_{i,j+1} = a_{i,j} \cdot f_{i,j}$（$a_{i,j} \geq 2$）を用いる。
• 辺ベクトルが正則三重 $v_1, v_2, v_3$ をなす正則三角形を特定し、その辺が $e_i$ から延長される直線 $L_{ij}$ に沿うようにする。
• 正則三角形がすべての $\Delta$ を覆い、辺の長さが $r$ の正則タイル張りとなることを示す。
• このタイル張りからトーリックファーン $\Sigma$ を構成し、モノミアル基底の対応により、関連するトーリック多様体 $Y_\Sigma$ が $A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ に同型であることを証明する。
• 各アフィン成分が $A$-クラスタをパラメトライズすることを検証し、'上'および'下'の両ケースにおいて、モノミアル関係が $A$-クラスタの式と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nakamuraの $A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ を元来のアルゴリズムよりも簡略化して計算する方法は何か？
• RQ2 対角的有限部分群をもつ $\mathrm{SL}(3,\mathbb{C})$ に対する $A$-Hilbertスキームの幾何的構造は何か？
• RQ3 $A$-Hilbertスキームはジュニアシンプレックスの正則三角形分割によってトーリック多様体として実現可能か？
• RQ4 連分数と格子三角形分割は、$\mathbb{C}^3/A$ のクレパント解消を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $A$-クラスタのモノミアル関係は、解消のファーン構造とどのように対応するか？

主な発見

• ジュニアシンプレックス $\Delta$ は、正則三重をなす辺ベクトルを持つ正則三角形に完全に分割され、平面 $\mathbb{R}^2_\Delta$ 上に正則タイル張りを形成する。
• これらの三角形の正則タイル張りに対応するトーリック多様体 $Y_\Sigma$ は、Nakamuraの $A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ に同型である。
• $A$-Hilbertスキーム $A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ は、定理1.2および推論1.3により、$\mathbb{C}^3/A$ のクレパント解消である。
• $A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ 内の各コン pact な特異的表面は、$\mathbb{P}^2$、ヒルツェブルク面 $\mathbb{F}_n$、またはその1つか2つの点での吹き上げ、$\mathrm{dP}_6$ を含む。
• $A$-クラスタのモノミアル関係はファーン構造によって完全に記述可能である。'上'および'下'のケースは、タイル張りの幾何に一致する異なるモノミアル方程式の族を表す。
• アルゴリズムにより、$A$-Hilb$\mathbb{C}^3$ の計算が連分数処理と格子三角形分割に還元され、構成的かつ可視化可能な方法が提供される。