[論文レビュー] How to Calculate the Exponential of Matrices

Kazuyuki Fujii, Hiroshi Ôike|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意の複素 $n \times n$ 行列 $A$ に対して、行列指数関数 $\ mathrm{e}^A$ を明示的かつ計算的に効率的に計算する手法を提示する。この手法は、問題を同伴行列 $L$ の指数関数 $\ mathrm{e}^L$ の計算に還元し、$L$ は対角化可能またはジョルダン標準形を用いて取り扱える。主な結果として、$A$ の固有値を用いた $\ mathrm{e}^A$ の閉形式式が得られ、大規模な行列に対しても正確かつ安定した数値計算が可能になる。

ABSTRACT

How to calculate the exponential of matrices in an explicit manner is one of fundamental problems in almost all subjects in Science. Especially in Mathematical Physics or Quantum Optics many problems are reduced to this calculation by making use of some approximations whether they are appropriate or not. However, it is in general not easy. In this paper we give a very useful formula which is both elementary and getting on with computer.

研究の動機と目的

• 任意の複素行列に対して、行列指数関数 $\mathrm{e}^A$ を明示的かつ計算可能な方法で計算するという長年の課題に取り組む。
• 大規模な $n$ に対して固有ベクトルとその逆行列の計算が困難になるため、標準的な対角化法の限界を克服する。
• 固有値が縮重している場合やほぼ縮重している場合でも、安定に動作する手法を開発する。
• 固有値に基づく公式を用いて、$\mathrm{e}^{tA}$ やより一般的な関数 $F(A)$ の計算を体系的に行うフレームワークを提供する。
• 量子計算や量子光学分野における応用を支援する。ここでは行列指数関数が頻出するが、明示的かつ正確に計算することが困難である。

提案手法

• 行列指数関数 $\mathrm{e}^A$ の計算を、$A$ の特性多項式に関連する同伴行列 $L$ の指数関数 $\mathrm{e}^L$ の計算に還元する。恒等式 $\mathrm{e}^A = (E, A, A^2, \dots, A^{n-1}) \mathrm{e}^L \mathbf{e}_1$ を用いる。
• ケイリー＝ハミルトンの定理を用いて、$A^m$ を $E, A, \dots, A^{n-1}$ の線形結合として表現し、指数級数が有限和に切り詰められることを保証する。
• 固有値が相異なる場合、多項式の係数から導かれる固有ベクトルを用いて同伴行列 $L$ を対角化する。
• 縮重固有値の場合はジョルダン標準形を用いて処理し、すべての場合に有効な手法を保証する。
• 留数や固有値の対称関数を用いて、行列逆行列を避けることで、$\ mathrm{e}^A$ の閉形式式を導出する。
• すべての整関数 $F$ に対して、統一的な固有値に基づく表現を用いて、$\ mathrm{e}^{tA}$ や $F(A)$ を一般化して計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な対角化に依存せずに、任意の $n \times n$ 行列に対して、行列指数関数 $\mathrm{e}^A$ を明示的かつ効率的に計算する方法は何か？
• RQ2 行列 $A$ が対角化不能であるか、重複固有値を含む場合に、数値的に安定かつ代数的に明示的な方法で $\mathrm{e}^A$ を計算するにはどうすればよいか？
• RQ3 行列指数関数を、固有ベクトルやその逆行列を計算せずに、$A$ の固有値のみで表現できるか？
• RQ4 この手法を、$\ mathrm{e}^{tA}$ やより一般的な関数 $F(A)$ の計算に、統一的な方法で拡張できるか？
• RQ5 同一の計算フレームワーク内で、相異なる固有値と縮重固有値の両方を体系的に取り扱う方法はあるか？

主な発見

• 行列指数関数 $\ mathrm{e}^A$ は、$A$ の同伴行列 $L$ を用いて $\ mathrm{e}^A = (E, A, A^2, \dots, A^{n-1}) \mathrm{e}^L \mathbf{e}_1$ と計算可能であり、問題が $\ mathrm{e}^L$ の計算に還元される。
• 相異なる固有値 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ の場合、$\ mathrm{e}^A$ の公式は $0 \leq l \leq n-1$ に対して $f_l = (-1)^{n+1} \sum_{k=1}^n \frac{(p_{n-l-1})_k \mathrm{e}^{\alpha_k}}{\prod_{j \neq k} (\alpha_j - \alpha_k)}$ で明示的に与えられる。ここで $p_i$ は特性多項式の係数を表す。
• ジョルダン標準形を用いることで、縮重固有値の処理が滑らかに行える。また、$\beta \to \alpha$ の極限において、相異なる固有値の公式の極限は、重複固有値に対する正しい結果を回復する。
• $\mathrm{e}^{tA}$ の公式は、同じ式において $\mathrm{e}^{\alpha_k}$ を $\mathrm{e}^{t\alpha_k}$ に置き換えることで得られ、時間発展計算が可能になる。
• この手法は任意の整関数 $F$ に対して一般化可能であり、$F(A) = \sum_{l=0}^{n-1} f_l A^l$ と表され、係数 $f_l$ は $F(\alpha_k)$ と多項式の留数に関する対称和で与えられる。
• 固有ベクトル行列の逆行列 $U^{-1}$ を計算する必要がなくなるため、大規模な $n$ に対して標準的な対角化法よりも計算的に優れている。