[論文レビュー] How to compute the length of a geodesic on a Riemannian manifold with small error in arbitrary Sobolev norms

Joerg Kampen|ArXiv.org|Nov 11, 2008

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意のソボレフノルムで任意に小さい誤差をもつ、安定な多項式補間に基づくアルゴリズムを提示する。リーマン多様体上の測地線長を計算するもので、等角方程式をグローバル解の正則な多項式補間によって解くことで、長さ関数への高精度近似を達成し、変数係数をもつ放物型偏微分方程式のWKB展開の正確な計算を可能にする。応用分野は数学的物理学およびファイナンスに及ぶ。

ABSTRACT

We compute the length of geodesics on a Riemannian manifold by regular polynomial interpolation of the global solution of the eikonal equation related to the line element $ds^2=g_{ij}dx^idx^j$ of the manifold. Our algorithm approximates the length functional in arbitrarily strong Sobolev norms. Error estimates are obtained where the geometric information is used. It is pointed out how the algorithm can be used to get accurate approximation of solutions of parabolic partial differential equations leading obvious applications to finance and physics.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上の測地線長を計算する安定的で高精度な数値的手法を開発すること。
• 任意に強いソボレフノルム（$H^{s,p}$）において、等角方程式の解を制御された誤差で近似すること。
• 変数係数をもつ線形放物型偏微分方程式の基本解をWKB型展開により正確に計算することを可能にすること。
• 幾何的データおよびソボレフノルムの観点から、近似の誤差見積もりを厳密に提示すること。
• 数学的物理学、ファイナンス（例：オプションプライシング）、統計（例：最尤推定）への応用を支援すること。

提案手法

• 本手法は、等角方程式 $ d^2 = \frac{1}{4} \sum_{ij} a_{ij}(x) \partial_{x_i} \partial_{x_j} $ のグローバル解の正則な多項式補間を用いる。ここで $ a_{ij} $ はリーマン計量 $ g_{ij} $ の逆行列である。
• アルゴリズムは、真の $ d^2 $ に対する $ H^{s,p} $-近似 $ q_{s,p}^2 $ を構築し、任意の $ \epsilon > 0 $ に対して $ \|d^2 - q_{s,p}^2\|_{s,p} \leq \epsilon $ を満たす。
• 補間は有界領域 $ \Omega $ 上で実行され、$ d^2 $ 及びその導関数の滑らかさに基づいた誤差評価が導かれる。
• 本手法は、$ d^2 $ がコンパクト領域上で $ C^\infty $ であるという事実を活用し、テイラー展開および補間による高次局所近似を可能にする。
• 誤差見積もりは多重インデックス記法を用い、高次導関数の有界性に基づき、定数 $ C $ は $ \Omega $ 上での $ \partial^\gamma d^2 $ の最大値に依存する。
• 本手法は、放物型偏微分方程式のWKB係数 $ c_k $ の計算へと拡張され、$ s \geq 2k $ を満たす $ H^{s,p} $-近似が要求される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体上の測地線の長さを、任意のソボレフノルムで任意に小さい誤差でどのように近似できるか？
• RQ2 有界領域上での等角方程式の解に多項式補間を適用した際の収束性および誤差境界は何か？
• RQ3 $ d^2 $ の近似が、変数係数放物型偏微分方程式の基本解に対するWKB展開の精度にどのように影響するか？
• RQ4 ソボレフノルムにおける高次収束を保証するための、計量 $ g_{ij} $ の最小限の正則性および幾何的条件は何か？
• RQ5 物理およびファイナンス分野における実用的応用を想定した、数値的に安定的かつ効率的なアルゴリズムにできるか？

主な発見

• 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して $ \|d^2 - q_{s,p}^2\|_{s,p} \leq \epsilon $ を満たす。ここで $ q_{s,p}^2 $ は、任意のソボレフノルムにおける等角方程式の解の多項式近似である。
• $ m $ 次補間の局所誤差は $ |d^2(x,y) - d^2_{M(\beta_m)}(x,y)| \leq C P \frac{h^m}{m!} $ を満たす。ここで $ P $ は次数 $ m $ の多重インデックスの数である。
• 導関数の誤差は $ \partial^\beta d^2 - \partial^\beta d^2_{M(\beta_m)} \leq C \frac{h^{m-|\beta|}}{(m-|\beta|)!} $ で有界であり、すべての導関数について高次収束が示される。
• 定数 $ C $ は、$ \Omega $ 上での $ \partial^\gamma d^2 $ の最大値の関数として有界であり、等角方程式および計量の性質から事前に推定可能である。
• 放物型偏微分方程式のWKB近似を次数 $ k $ まで行う場合、$ s \geq 2k $ を満たす $ H^{s,p} $-近似があれば十分であり、高精度な基本解展開が保証される。
• 本手法により、拡散過程の遷移密度の正確な計算が可能となり、オプションプライシングや確率過程における統計的推定への直接的応用が可能となる。