[論文レビュー] How to determine the sign of a valuation on C[x,y]?

Pinaki Mondal|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ℂ[x,y] 上の無限大に中心を持つ除法定義離散的価整域が ℂ[x,y]∖ℂ で負または非正であるかどうかを決定する完全な基準を提供する。幾何的手段を用い、ℂ² のコンパクト化における曲線の錐と [FJ07] の結果の一般化を通じて、価整域の符号が、その価整域の最後のキーフォームにおける値の符号によって完全に決定されることを示している。主な結果は、キーフォームと値の半群に基づく効果的なアルゴリズム的特徴付けである。

ABSTRACT

Given a divisorial discrete valuation 'centered at infinity' on C[x,y], we show that its sign on C[x,y] (i.e. whether it is negative or non-positive on non-constant polynomials) is completely determined by the sign of its value on the 'last key form' (key forms being the avatar of 'key polynomials' of valuations (introduced by [Maclane, 1936]) in 'global coordinates'). The proof involves computations related to the cone of curves on certain compactifications of C^2 and gives a characterization of the divisorial valuations centered at infinity whose 'skewness' can be interpreted in terms of the 'slope' of an extremal ray of these cones, yielding a generalization of a result of [Favre-Jonsson, 2007]. A by-product of these arguments is a characterization of valuations which 'determine' normal compactifications of C^2 with one irreducible curve at infinity in terms of an associated 'semigroup of values'.

研究の動機と目的

• 無限大に中心を持つ除法定義離散的価整域が ℂ[x,y]∖ℂ で負または非正であるかどうかを同定する問題を解くこと。
• 局所的計算ではなく、グローバル不変量を用いて、このような価整域の符号に対する効果的な基準を提供すること。
• ℂ² の無限大に1つの既約曲線をもつ正規コンパクト化を決定する除法定義価整域を、その値の半群によって特徴付けること。
• [FJ07] の結果を一般化し、価整域の非対称性を ℂ² のコンパクト化における極値線の傾きに関連付けること。

提案手法

• MacLane理論におけるキーポリノミアルのグローバル版であるキーフォームを、ℂ[x,y] 上での価整域の挙動を分析する中心的な計算的道具として用いる。
• キーフォームに依存する [Mon13] の代数的収縮基準を適用し、コンパクト化上の曲線の収縮可能性を決定する。
• 特に、次数関数 δ から構成されるグレーデッド環 R^δ を通じて、ℂ² の射影的コンパクト化 X̄ における曲線の錐とネフ錐を分析する。
• 最後のキーフォームの δ-値の幾何的解釈に依拠し、δ が ℂ[x,y] で正または非負であるかどうかを決定する。これにより、代数的性質と曲線の交差形式などの幾何的不変量を結びつける。
• Grauertの基準を用いて、曲線が収縮可能であるとき（δ(g_{n+1}) > 0 であるとき）を特定し、これと代数的コンパクト化の存在を関連付ける。
• δ の値の半群と代数的・解析的コンパクト化の存在との間の関係を確立し、半群だけではそれらを区別できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大に中心を持つ除法定義離散的価整域が ℂ[x,y]∖ℂ で負または非正であるかどうかを、どのように効果的に同定できるか？
• RQ2 コンパクト化された ℂ² における曲線の錐の観点から、ℂ[x,y] 上での価整域の符号に幾何的意味は何か？
• RQ3 ℂ[x,y] 上の半次数 δ の値の半群は、ℂ² の代数的コンパクト化と解析的コンパクト化を区別できるか？
• RQ4 δ の最後のキーフォームにおける値が、δ が ℂ[x,y] 上で正または非負であるかどうかをどのように決定するか？
• RQ5 除法定義半次数 δ が ℂ[x,y] 上で、ℂ² の代数的コンパクト化をもたらすための条件は何か？

主な発見

• ℂ[x,y] 上の除法定義離散的価整域 ν の符号は、ν が最後のキーフォーム g_{n+1} に対してとる値の符号によって完全に決定される：ν が ℂ[x,y]∖ℂ で非正であることは、ν(g_{n+1}) ≤ 0 であることと同値である。
• ℂ[x,y] 上の除法定義半次数 δ が ℂ[x,y]∖ℂ で正であることは、δ(g_{n+1}) > 0 であるか、または δ(g_{n+1}) = 0 かつある以前のキーフォーム g_k が多項式でないときに限る。
• 非定数 f ∈ ℂ[x,y] に対する δ(f)/deg(f) の下限は、δ(g_{n+1}) ≥ 0 のとき δ(g_{n+1}) / d_δ に等しく、δ(g_{n+1}) < 0 のときは α(δ) よりも厳密に大きい。
• δ によって定まる ℂ² のコンパクト化が代数的であることは、最後のキーフォーム g_{n+1} が多項式であることと同値である。そうでなければ、それは解析的コンパクト化にしかならない。
• 同じ値の半群 N_δ = N_δ′ を持つが、δ は代数的コンパクト化を定めるが δ′ は定めないような異なる半次数 δ と δ′ が存在する。これは、値の半群が代数的と解析的コンパクト化を区別できないことを示している。
• X̄ の曲線の錐における極値線の傾きは、δ(g_{n+1}) と直接関係しており、[FJ07] の結果をグローバルな設定に一般化している。