[論文レビュー] Hurwitz numbers, matrix models and enumerative geometry

Vincent Bouchard, Marcos Mariño|ArXiv.org|Sep 10, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、トーリックCalabi–Yau多様体上のBモデルトポロジカル弦理論におけるフレームドトポロジカルバーテックスの無限フレームング極限から導かれる、任意の生成りのホイットニー数のための新しい予想的再帰的関係を提案する。ミラー対称性とホッジ積分の再帰的形式主義を活用することで、行列モデル技法と数え上げ幾何学の間の関係を確立し、既知の結果を一般化し、ホッジ積分の計算を統一的に扱う枠組みを提供する新たな再帰的構造をホイットニー数に与える。

ABSTRACT

We propose a new, conjectural recursion solution for Hurwitz numbers at all genera. This conjecture is based on recent progress in solving type B topological string theory on the mirrors of toric Calabi-Yau manifolds, which we briefly review to provide some background for our conjecture. We show in particular how this B-model solution, combined with mirror symmetry for the one-leg, framed topological vertex, leads to a recursion relation for Hodge integrals with three Hodge class insertions. Our conjecture in Hurwitz theory follows from this recursion for the framed vertex in the limit of infinite framing.

研究の動機と目的

• P1への任意の生成りと分岐をもつ被覆を数えるホイットニー数のための新しい予想的再帰的関係を定式化すること。
• この再帰的関係が、トーリックCalabi–Yau三様の鏡のBモデルトポロジカル弦理論における最近の進展とどのように関連するかを明らかにすること。
• フレームドトポロジカルバーテックスの無限フレームング極限が、ホッジ積分の恒等式を通じてホイットニー数の再帰的構造をどのように得るかを示すこと。
• ELSVM公式とムーディ関係を用いて、行列モデルの再帰的技法と数え上げ幾何学を統一すること。

提案手法

• [EO]の再帰的形式主義を、[M, BKMP]で提案されたトーリックCalabi–Yau多様体上のBモデルトポロジカル弦理論に適応する。
• [AKV]のミラー幾何を用いて、一腿フレームドトポロジカルバーテックスにミラー対称性を適用し、ホッジ積分の再帰的関係を導出する。
• ELSVM公式を用いて、3つのホッジクラス挿入を持つホッジ積分と、無限フレームング極限におけるホイットニー数を関係付ける。
• フレームドバーテックス微分形式Wgの極限f→∞をとり、変数をx→x/fとして再スケーリングすることで、ホイットニー生成関数Hgを回復する。
• Mumford関係Λ∨g(t)Λ∨g(−t) = (−1)^g t^{2g}を用いて、フレームドホッジ積分を無限極限における標準的ホッジ積分に関係付ける。
• フレームドバーテックス形式主義におけるWgの再帰的計算の無限フレームング極限をとることで、Hgの再帰的構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカル弦理論を用いて、任意の生成りのホイットニー数のための新しい再帰的関係を定式化できるか。
• RQ2 フレームドトポロジカルバーテックスの無限フレームング極限は、標準的ホイットニー理論とどのように関係するか。
• RQ3 フレームドバーテックスにおけるホッジ積分の再帰的構造を、ホイットニー数の再帰に持ち上げることは可能か。
• RQ4 ELSVM公式と無限フレームング極限におけるフレームドバーテックス再帰の間の正確な数学的関係は何か。
• RQ5 [EO]の再帰的形式主義は、一腿バーテックスのミラー対称性を介してホイットニー数へ拡張可能か。

主な発見

• 本稿は、既知の再帰的関係とは異なる、ホイットニー数H_{g,μ}^•のための新しい予想的再帰的関係を提案する。
• この再帰的関係は、フレームドトポロジカルバーテックスの無限フレームング極限f→∞として生じる。ここで、バーテックスのゲーミング・ポテンシャルはホイットニー生成関数に写像される。
• 微分形式Wg(x1,…,xh)の極限f→∞はHg(x1,…,xh)をもたらし、フレームドバーテックス不変量とホイットニー理論との間の直接的な関係を確立する。
• フレームドバーテックスの再帰的構造は、ミラー曲線x = T(1−T/f)^fに基づくが、極限f→∞で木関数x = T e^{-T}に収束する。
• [MV]で予想され、[LLZ, OP3]で証明されたフレームドバーテックスのホッジ積分の公式が、ELSVM公式を通じてホイットニー数への主要な橋渡しを提供する。
• フレームドバーテックスのホッジ積分の極限は、1つの挿入を持つ標準的ホッジ積分を再現し、数え上げ幾何学における既知の結果と整合性を確認する。