[論文レビュー] Two Dimensional Kodaira-Spencer Theory and Three Dimensional Chern-Simons Gravity

Robbert Dijkgraaf, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Nov 13, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 47

ひとこと要約

この論文は、局所的トポロジカルBモデルの標的空間の有効場理論として、リーマン面における2次元Kodaira-Spencer理論を定式化し、そのWard恒等式がEynard–Orantinの再帰関係を再現することを示している。主な結果は、SL(2,\mathbb{R})現在代数対称性の出現であり、再帰関係の場理論的導出を可能にするとともに、トポロジカルM理論の背後にある3次元Chern-Simons重力理論に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Motivated by the six dimensional formulation of Kodaira-Spencer theory for Calabi-Yau threefolds, we formulate a two dimensional version and argue that this is the relevant field theory for the target space of local topological B-model with a geometry based on a Riemann surface. We show that the Ward identities of this quantum theory is equivalent to recursion relations recently proposed by Eynard and Orantin to solve the topological B model. Our derivation provides a conceptual explanation of this link and reveals a hidden affine SL(2,R) symmetry. Moreover we argue that our results provide the strongest evidence yet of the existence of topological M theory in one higher dimension, which in this case can be closely related to SL(2,R)Chern-Simons formulation of three dimensional gravity.

研究の動機と目的

• トポロジカルBモデルの文脈において、場理論的枠組みからEynard–Orantinの再帰関係を導出すること。
• リーマン面上のチラルボソンの量子化の観点から、ホロモーフィック異常（holomorphic anomaly）の起源を理解すること。
• 再帰関係と2次元量子場理論のWard恒等式との間の概念的リンクを確立すること。
• 2次元Kodaira-Spencer理論の高次元化としての3次元Chern-Simons重力理論の存在を裏付けること。
• 特に局所Calabi-Yau幾何における1次元高い次元におけるトポロジカルM理論への影響を検討すること。

提案手法

• リーマン面$\Sigma$を$H(x,y) = 0$で定義される1形式$\omega = ydx$と$({\overline{\partial}}, \omega)$のペアに基づく2次元Kodaira-Spencer理論を定式化する。
• 量子理論を、リーマン面の複素構造の変形にカップリングするチラルボソン$\phi$として特定し、分割関数がAサイクル基底の選択に依存することを示す。
• この2次元場理論のWard恒等式を導出し、トポロジカルストリング振幅のEynard–Orantin再帰関係と一致することを示す。
• チラル性とシンプレクティック基底の選択依存性から生じる、量子理論におけるSL(2,\mathbb{R})現在代数対称性を解明する。
• チラルブロックとホロモーフィックブロックの対応を通じて、波動関数の振る舞いと3次元Chern-Simons理論を関連付ける。
• 境界に挿入された$\oint_{\infty} J_{+}(z,\lambda)$に対応するtwistor的結合パrameter$\lambda$を介して、3次元重力理論が$\Sigma \times \mathbb{R}$上のSL(2,\mathbb{R})Chern-Simons理論であると提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルストリング振幅のEynard–Orantin再帰関係は、2次元量子場理論からどのように導出可能か？
• RQ2 2次元Kodaira-Spencer理論の文脈において、SL(2,\mathbb{R})現在代数対称性の起源は何か？
• RQ3 リーマン面上のチラルボソンの量子化から、トポロジカルストリングのホロモーフィック異常はどのように生じるか？
• RQ4 twistor的幾何と3次元Chern-Simons高次元化の文脈において、結合パrameter$\lambda$の役割は何か？
• RQ5 2次元Kodaira-Spencer理論は、3次元重力理論に一貫してアップライド可能か？ もし可能であれば、その構造は何か？

主な発見

• リーマン面上の2次元Kodaira-Spencer理論のWard恒等式は、トポロジカルストリング振幅のEynard–Orantin再帰関係を正確に再現する。
• リーマン面上のチラルボソンの量子理論は、Aサイクル基底の変更における分割関数の波動関数的振る舞いを生じさせ、ホロモーフィック異常方程式と整合的である。
• チラル量子化とシンプレクティック基底の選択依存性から、自然にSL(2,\mathbb{R})現在代数対称性が出現する。
• シンプレクティック双対性による分割関数の変換は、2次元CFTにおけるチラルブロックの振る舞いと同一視可能であり、フーリエ変換に類似している。
• 理論は、境界に挿入された$\oint_{\infty} J_{+}(z,\lambda)$がtwistor的パrameter$\lambda$に結合する、$\Sigma \times \mathbb{R}$上のSL(2,\mathbb{R})Chern-Simons重力理論としての高次元化を示唆する。
• これらの結果は、1次元高い次元におけるトポロジカルM理論の存在を、これまでで最も強い証拠として提供し、3次元Chern-Simons理論がその重力的実現であることを示している。