[論文レビュー] Hydrodynamic limits and numerical errors of isothermal lattice Boltzmann schemes

Gauthier Wissocq, Pierre Sagaut|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 105被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、Knudsen数におけるテイラー展開に基づく新しい漸近解析を導入し、等温ラティスボルツマンスキームにおける一貫性誤差（運動論的記述由来）と数値誤差（空間的・時間的離散化由来）を体系的に分離・同定する手法を提示する。解析により、BGKモデルの低散乱性は、有利な誤差構造に起因するのに対し、正規化およびMRTモデルは「ハイパーレオロジー的崩壊（hyperviscous degeneracy）」に起因する——これは大きな数値係数に起因する人工的な高次散乱性であり、低粘性流体において過剰な散乱と不安定性を引き起こす。

ABSTRACT

With the aim of better understanding the numerical properties of the lattice Boltzmann method (LBM), a general methodology is proposed to derive its hydrodynamic limits in the discrete setting. It relies on a Taylor expansion in the limit of low Knudsen numbers. With a single asymptotic analysis, two kinds of deviations with the Navier-Stokes (NS) equations are explicitly evidenced: consistency errors, inherited from the kinetic description of the LBM, and numerical errors attributed to its space and time discretization. The methodology is applied to the Bhatnagar-Gross-Krook (BGK), the regularized and the multiple relaxation time (MRT) collision models in the isothermal framework. Deviation terms are systematically confronted to linear analyses in order to validate their expressions, interpret them and provide explanations for their numerical properties. The low dissipation of the BGK model is then related to a particular pattern of its error terms in the Taylor expansion. Similarly, dissipation properties of the regularized and MRT models are explained by a phenomenon referred to as hyperviscous degeneracy. The latter consists in an unexpected resurgence of high-order Knudsen effects induced by a large numerical pre-factor. It is at the origin of over-dissipation and severe instabilities in the low-viscosity regime.

研究の動機と目的

• 離散的設定下におけるラティスボルツマンスキームの流体力学的極限を導出する統一的手法の構築を目的とする。
• 運動論的記述由来の一貫性誤差と空間・時間離散化由来の数値誤差を明示的に分離することを目的とする。
• 漸近解析を用いてBGK、正規化、MRT衝突モデルの数値的挙動を解明することを目的とする。
• 高次のLBMモデルにおける低粘性領域における過剰散乱および不安定性の原因を特定することを目的とする。
• 線形安定性解析を用いて誤差項を検証し、数値的性質の物理的解釈を提供することを目的とする。

提案手法

• Knudsen数におけるテイラー展開を適用し、離散的ラティスボルツマン方程式から等価な巨視的方程式を導出する。
• Knudsen数と離散化パラメータ（∆x, ∆t）の間の事前仮定を設けない単一の漸近解析を実施する。
• 空間微分の4次までの項までの一貫性誤差および数値誤差項の体系的表現を導出する。
• 得られた誤差項を線形安定性解析の結果と比較し、物理的意味の検証および解釈を実施する。
• BGK、正規化、MRTモデルの誤差係数（C_i, N_i）の構造を分析し、それらの散乱特性を説明する。
• 大きな数値係数が高次Knudsen効果を再導入するメカニズムとして「ハイパーレオロジー的崩壊」を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラティスボルツマンスキームにおける一貫性誤差と数値誤差を、離散的設定下で体系的かつ定量的に分離・評価する方法は何か？
• RQ2 BGKモデルが示す低散乱性の原因は何か？ これは誤差項の構造とどのように関連しているか？
• RQ3 なぜ正規化およびMRTラティスボルツマンモデルは低粘性流体において過剰散乱と不安定性を示すのか？
• RQ4 MRTおよび正規化スキームにおける誤った高次効果の出現に、数値係数が果たす役割は何か？
• RQ5 導出された誤差項は線形安定性解析の結果とどのように一致するか？ これによりモデルの頑健性にどのような示唆が得られるか？

主な発見

• BGKモデルは、特にC1およびC2係数における誤差項の特定のキャンセルパターンにより、低散乱性を示す。
• 正規化およびMRTモデルは「ハイパーレオロジー的崩壊」に起因し、大きな数値係数が高次Knudsen効果を再導入することで、過剰散乱を引き起こす。
• このハイパーレオロジー的崩壊は、MRTおよび正規化スキームにおいて特に顕著な不安定性を引き起こす低粘性領域の根本的要因であると特定された。
• MRTおよび正規化モデルでは、数値誤差項（N_i）が一貫性誤差（C_i）よりも著しく大きくなることが判明し、低粘性領域における性能の悪化が説明された。
• 解析により、BGKモデルの誤差構造がMRTおよび正規化モデルよりもより好都合であることが検証され、低粘性流体における安定性の優位性が説明された。
• 本手法は、物理的一貫性誤差と純粋な数値的アーティファクトを明確に区別でき、LBMの数値的性質のより明確な理解を可能にした。