[論文レビュー] Hyperbolic components of McMullen maps

Weiyuan Qiu, Pascale Roesch+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、McMullen写像 $ f_\lambda(z) = z^n + \lambda z^{-n} $（$ n \geq 3 $）のパラメータ空間におけるすべての双曲的成分の境界がジョードン曲線であることを証明し、デヴァノイが提起した長年の問題を解決する。その結果、無限大の即時吸引域の境界に包絡線をもつパラボリック周期軌道を有するパラメータ（くちばし）が、非有界双曲的成分の境界上で稠密であることが示され、テイヒミュラー空間の境界におけるマクマレンの定理の動的類似が得られる。

ABSTRACT

In this article, we study the hyperbolic components of McMullen maps. We show that the boundaries of all hyperbolic components are Jordan curves. This settles a problem posed by Devaney. As a consequence, we show that cusps are dense on the boundary of the unbounded hyperbolic component. This is a dynamical analogue of McMullen's theorem that cusps are dense on the Bers' boundary of Teichmüller space.

研究の動機と目的

• McMullen写像における双曲的成分境界の位相的構造に関してデヴァノイが提起した問題を解決すること。
• パラメータ空間における $ f_\lambda(z) = z^n + \lambda z^{-n} $ のすべての双曲的成分がジョードン曲線境界をもつことを確立すること。
• 非有界双曲的成分 $ \mathcal{H}_0 $ の境界上でくちばしが稠密であることを示すこと。ここでジュリア集合はカントール集合である。
• テイヒミュラー空間のベルズ境界におけるマクマレンの定理におけるくちばしの稠密性の動的類似を提供すること。
• 動的ヨコツ・パズルとカットレイヤーの連続的移動を用いた新規アプローチにより、境界の局所的連結性およびジョードン曲線構造を証明すること。

提案手法

• デヴァノイによって構成された「カットレイヤー」によって誘導されるヨコツ・パズル構造を用い、パラメータ $ \lambda $ に対してハウスドルフ位相において連続的に変化するジョードン曲線を定義する。
• カットレイヤーを介して同一のインプレッションに属する写像間の擬等角同相を構成し、境界の局所的連結性を証明する。
• 極値長さと面積・モジュラス不等式に基づく「ゼロ測度の議論」を適用し、特定の反発的系の前像を除いたジュリア集合がレベーグ測度ゼロであることを示す。
• 領域のネスト列 $ \mathbf{V}^d = g^{-d}(\mathbf{V}) $ に対して $ \mathbf{V}^{d+1} \Subset \mathbf{V}^d $ を満たす反発的系 $ g: \mathbf{U} \to \mathbf{V} $ を定義し、ジュリア集合および臨界軌道の構造を分析する。
• アニュラス $ \mathbf{A}^d(z) = \mathbf{V}^d(z) \setminus \overline{\mathbf{V}^{d+1}} $ のモジュラス $ \mathbf{m}(A) $ を用い、$ \sum_{d \geq 1} \mathbf{m}(\mathbf{A}^d(z)) = \infty $ を示し、これによりジュリア集合がゼロ測度のカントール集合であることを示す。
• 面積・モジュラス不等式 $ \text{area}(\mathbf{V}^d) \leq \frac{~\text{area}(\mathbf{V})~}{1 + 4\pi M_d} $ を適用し、$ M_d \to \infty $ より $ \text{area}(\mathbf{V}^d) \to 0 $ を得て、ゼロ測度結果を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 McMullen写像のパラメータ空間におけるすべての双曲的成分の境界は、位相的にジョードン曲線であるか？
• RQ2 ジュリア集合がカントール集合である非有界双曲的成分 $ \mathcal{H}_0 $ の境界上で、くちばしパラメータの集合は稠密か？
• RQ3 非有界双曲的成分の境界は、パラボリック周期軌道の存在や自由臨界軌道といった動的性質によって特徴付けられるか？
• RQ4 連続的移動するカットレイヤーと組み合わせた動的ヨコツ・パズル構造は、双曲的成分境界の局所的連結性およびジョードン曲線構造を証明するのに十分か？
• RQ5 関連する反発的系 $ g $ のジュリア集合 $ K(g) $ は、レベーグ測度ゼロのカントール集合であるか？ これにより、全ジュリア集合がカントール集合であることが示唆されるか？

主な発見

• $ n \geq 3 $ であるMcMullen写像 $ f_\lambda(z) = z^n + \lambda z^{-n} $ のすべての双曲的成分の境界がジョードン曲線であることが証明され、デヴァノイによる予想が裏付けられた。
• 非有界双曲的成分 $ \mathcal{H}_0 $ の境界 $ \partial\mathcal{H}_0 $ はジョードン曲線であり、くちばしがその上に稠密である。これは、$ \nu(\theta) $ がくちばしであるための必要十分条件が、ある $ p \geq 1 $ に対して $ n^p\theta \equiv \theta \mod \mathbb{Z} $ を満たすことであると示されたことにより証明された。
• 外部レイヤーの着地点を用いて $ \nu: \mathbb{S} \to \partial\mathcal{H}_0 $ のパラメトライゼーションを構成し、$ n^p\theta \equiv \theta \mod \mathbb{Z} $ を満たす $ \theta $ の集合が $ \mathbb{S} $ で稠密であることを示した。これにより、くちばしが稠密であることが導かれる。
• パラメータ $ \lambda \in \partial\mathcal{H}_0 $ のとき、ジュリア集合 $ J(f_\lambda) $ はゼロ測度のカントール集合であることが、モジュラスと面積不等式を用いたゼロ測度の議論により確立された。
• ネストされた領域 $ \mathbf{V}^d $ 上で定義された反発的系 $ g: \mathbf{U} \to \mathbf{V} $ に対して $ \sum_{d \geq 1} \mathbf{m}(\mathbf{A}^d(z)) = \infty $ が成り立ち、$ K(g) $ がカントール集合であることを示唆する。
• 面積・モジュラス不等式より、$ d \to \infty $ のとき $ \text{area}(\mathbf{V}^d) \to 0 $ であることが示され、$ K(g) $ がゼロレベーグ測度をもつことが確認された。これは主結果の鍵となる。